Problema 733

Dadas las matrices:

A=\begin{pmatrix}1-a&1\\1&1+a\end{pmatrix}\qquad I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

se pide:

a) Calcular para qué valores a\in\mathbb R se verifica A^2-I=2A.
b) Calcular los números reales a para los que la matriz A admite inversa y calcularla, cuando sea posible, en función del parámetro a.
c) Calcular, en función de a, el determinante de la matriz (AA^t)^2, donde A^t denota la matriz traspuesta de A.


Solución:

a) Calcular para qué valores a\in\mathbb R se verifica A^2-I=2A.

\bullet~A^2=AA=\begin{pmatrix}1-a&1\\1&1+a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1-a&1\\1&1+a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2-2a+2&2\\2&a^2+2a+2\end{pmatrix}

\bullet~A^2-I=\begin{pmatrix}a^2-2a+2&2\\2&a^2+2a+2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2-2a+1&2\\2&a^2+2a+1\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}(a-1)^2&2\\2&(a+1)^2\end{pmatrix}\qquad(1)

\bullet~2A=2\begin{pmatrix}1-a&1\\1&1+a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2a&2\\2&2+2a\end{pmatrix}\qquad(2)

Igualamos (1) y (2):

\begin{pmatrix}(a-1)^2&2\\2&(a+1)^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2(1-a)&2\\2&2(1+a)\end{pmatrix}

de donde obtenemos el sistema

\left\{\begin{array}{l}(a-1)^2=2(1-a)\\2=2\\2=2\\(a+1)^2=2(1+a)\end{array}\right.

De la primera ecuación:

(a-1)^2=2(1-a)~;\\(a-1)^2=-2(a-1)~;\\(a-1)^2+2(a-1)=0~;\\(a-1)(a-1+2)=0~;\\(a-1)(a+1)=0~;\\a=1,~a=-1

De la cuarta ecuación:

(a+1)^2=2(1+a)~;\\(a+1)^2-2(a+1)=0~;\\(a+1)(a+1-2)=0~;\\(a+1)(a-1)=0~;\\a=-1,~a=1

Luego, para a=1 y a=-1 se verifica la ecuación A^2-I=2A.


b) Para que una matriz admita inversa, su determinante ha de ser distinto de 0.

|A|=\begin{pmatrix}1-a&1\\1&1+a\end{pmatrix}=(1-a)(1+a)-1=1-a^2-1=-a^2

Determinante que se anula para a=0. Luego, la matriz A admite inversa para todo a≠0.

La matriz inversa de una matriz la calculamos con la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac1{|A|}\cdot(\text{Adj}A)^t}

\text{Adj}A=\begin{pmatrix}1+a&-1\\-1&1-a\end{pmatrix}

Luego:

A^{-1}=\dfrac1{-a^2}\cdot\begin{pmatrix}1+a&-1\\-1&1-a\end{pmatrix}

con a≠0.


c) Para calcular el determinante de (AA^t)^2 utilizaremos las propiedades de los determinantes, sabiendo que |A|=-a^2:

|(AA^t)^2|\underset{P.3}=(|AA^t|)^2\underset{P.3}=(|A||A^t|)^2\underset{P.2}=(|A||A|)^2=\\\\=(|A|^2)^2=|A|^4=(-a^2)^4=a^8

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