Problema 734

Un brote de una enfermedad se propaga a lo largo de unos días. El número de enfermos t días después de iniciarse el brote viene dado por una función F(t) tal que F'(t)=t^2(10-t).

a) Sabiendo que inicialmente había 6 personas afectadas, calcule la función F(t).
b) Calcule cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el número máximo de enfermos y cuál es ese número.
c) Calcule, usando el teorema de Bolzano, cuántos días dura el brote.


Solución:

a) Integramos F'(t) para obtener F(t), (recordar la tabla de integrales):

\displaystyle F(t)=\int t^2(10-t)~dt=\int 10t^2-t^3~dt=\dfrac{10t^3}3-\dfrac{t^4}4+k

Inicialmente el número de enfermos es 6, es decir, F(0)=6, de donde:

F(0)=\dfrac{10\cdot0^3}3-\dfrac{0^4}4+k=6~;\\k=6

Luego:

F(t)=\dfrac{10t^3}3-\dfrac{t^4}4+6


b) El máximo de la función F se obtiene donde F'(t)=0:

t^2(10-t)=0~;\\\\t=0,~t=10

La función F es una función polinómica, entonces es continua y derivable en todo su dominio. Evaluamos la función para estos dos valores de t:

F(0)=6,~F(10)=839

Utilizamos el test de la derivada segunda para comprobar que en t=10 se tiene un máximo local:

F'(t)=t^2(10-t)=10t^2-t^3\\\\F''(t)=20t-3t^2\longrightarrow F''(10)=-100<0

Luego, 10 días después de iniciarse el brote se tiene el máximo número de 839 enfermos.


c) Usando el teorema de Bolzano, calculamos cuantos días dura el brote, es decir, cuándo el número de enfermos se hace 0. Debe ser un tiempo t_0 mayor que t=10, donde tenemos F(10)=839>0:

\bullet~F(20)=-13300\rightarrow t_0\in(10,20)\\\bullet~F(15)=-1400\rightarrow t_0\in(10,15)\\\bullet~F(13)=189\rightarrow t_0\in(13,15)\\\bullet~F(14)=-451\rightarrow t_0\in(13,14)

Luego, el brote tarda en desaparecer entre 13 y 14 días.

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