Problema 735

Dados el plano, \pi\equiv~2x+3y-z=4, y las rectas r\equiv~\left\{\begin{array}{rl}x+y-z&=0\\x+y+z&=2\end{array}\right. y s\equiv~(x,y,z)=(1,2,3)+\lambda(1,0,1), con \lambda\in\mathbb R, se pide:

a) Calcular el punto simétrico de P(1,2,3) respecto de π.
b) Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano π, que pasa por el punto de intersección de las rectas r y s.
c) Calcular el ángulo que forman entre sí las rectas r y s.


Solución:

p120a) Construimos una recta t perpendicular a π que pase por P.
Por ser perpendicular a π, el vector director de t es paralelo al vector normal de π:

\boxed{t\perp\pi\leftrightarrow\vec v_t\parallel\vec n_{\pi}}

Entonces, tomamos \vec v_t=\vec n_{\pi}=(2,3,-1), como se observa en la ecuación implícita de π, y dado P(1,2,3), podemos construir las ecuaciones paramétricas de t:

t:~\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=2+3\lambda\\z=3-\lambda\end{array}\right.

Calculamos el punto M intersección de t con π sustituyendo las paramétricas se t en la implícita de π, y resolviendo:

2(1+2\lambda)+3(2+3\lambda)-(3-\lambda)=4~;\\2+4\lambda+6+9\lambda-3+\lambda=4~;\\14\lambda=-1~;\\\lambda=\dfrac{-1}{14}

Sustituyendo este valor de λ en las paramétricas de t obtenemos el punto M:

M=(1+2\cdot\frac{-1}{14},2+3\cdot\frac{-1}{14},3-\frac{-1}{14})=(\frac67,\frac{25}{14},\frac{43}{14})

Aplicamos la fórmula del punto medio para obtener el punto simétrico de P respecto del plano π, P‘:

M=\dfrac{P+P'}2~;\\\\P'=2M-P~;\\\\P'=2(\frac67,\frac{25}{14},\frac{43}{14})-(1,2,3)=(\frac57,\frac{11}7,\frac{22}7)


b) Escribimos la recta s en paramétricas:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda\\y=2\\z=3+\lambda\end{array}\right.

Sustituimos las paramétricas de s en las implícitas de r para calcular el punto de corte Q de r y s:

\left\{\begin{array}{rl}1+\lambda+2-(3+\lambda)=0&\rightarrow0\lambda=0\\1+\lambda+2+3+\lambda=2&\rightarrow2\lambda=-4\end{array}\right.

De donde λ=-2. Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de s para calcular Q:

Q=(1+(-2),2,3+(-2))=(-1,2,1)

Nos piden la recta h que pasa por Q y que es perpendicular a π. Por ser perpendicular a π, el vector director de la recta h es \vec n_{\pi}, como dijimos en el apartado a). Luego:

h:~(x,y,z)=(-1,2,1)+\mu(2,3,-1)


c) El ángulo que forma dos rectas se calcula a partir del ángulo que forman sus vectores directores. El vector director de s es \vec v_s=(1,0,1), y el vector director de r es:

\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&-1\\1&1&1\end{vmatrix}=\vec\imath(1+1)+\vec\jmath(-1-1)+\vec k(1-1)=(2,-2,0)

El ángulo α formado por r y s es:

\cos(\alpha)=\dfrac{|\vec v_r\cdot\vec v_s|}{|\vec v_r||\vec v_s|}=\dfrac{|(1,0,1)\cdot(2,-2,0)^t|}{\sqrt{1^2+1^2}\sqrt{2^2+(-2)^2}}=\dfrac2{\sqrt2\sqrt8}=\dfrac12

Luego, el ángulo α es:

\alpha=\arccos(\frac12)=60^\circ

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