Problema 737

Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm² de superficie, con unos márgenes alrededor del texto de 2 cm en la parte inferior, 3 cm en la parte superior y 2 cm a cada lado.
Calcular las dimensiones de la página que permiten la superficie impresa mayor
posible.


 

Solución:

p737La página tiene que tener un aspecto semejante al de la figura de la derecha.

La superficie impresa R tiene dimensiones x\times y, y su área S es la que debemos optimizar:

S(x,y)=x\cdot y

Sabemos que el área de la página entera es de 600 cm², es decir:

600=(x+4)\cdot(y+5)

de donde:

y+5=\dfrac{600}{x+4}~;\\\\y=\dfrac{600}{x+4}-5=\dfrac{600-5x-20}{x+4}\\\\y=\dfrac{580-5x}{x+4}

Sustituimos en S:

S(x)=x\cdot\dfrac{580-5x}{x+4}=\dfrac{580x-5x^2}{x+4}

Para optimizar S, comenzamos calculando sus puntos críticos:

S'(x)=\dfrac{(580-10x)(x+4)-(580x-5x^2)}{(x+4)^2}=0~;\\\\580x+2320-10x^2-40x-580x+5x^2=0~;\\\\-5x^2-40x+2320=0~;\\\\x^2+8x-464=0

ecuación de segundo grado cuyas soluciones aproximadas son x=17.9 y x=-25.9. El segundo resultado no es válido puesto que es negativo.
Comprobemos que la superficie es máxima para x=17.9 estudiando la monotonía de S en un entorno de dicho punto:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,17.9)&(17.9,116)\\\hline\mbox{Signo }S'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }S(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

Luego, con x=17.9 cm se maximiza la superficie de la región R. En este caso, las dimensiones de la página son:

\bullet~x+4=21.9\text{ cm de ancho}\\\\\bullet~y+5=\dfrac{600}{x+4}=27.4\text{ cm de alto}

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