Problema 738

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real k:

\left\{\begin{array}{rl}x+3y+2z&=-1\\x+k^2y+3z&=2k\\3x+7y+7z&=k-3\end{array}\right.

a) Discutir el sistema para los diferentes valores del parámetro k.
b) Resolver el sistema para el caso k = -1.


Solución:

a) Para discutir un sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial, MX=N:

\begin{pmatrix}1&3&2\\1&k^2&3\\3&7&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2k\\k-3\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de M para estudiar su rango:

\begin{vmatrix}1&3&2\\1&k^2&3\\3&7&7\end{vmatrix}=7k^2+27+14-6k^2-21-21=k^2-1

Determinante cuyos ceros son k=1 y k=-1. Entonces:

  • Si k≠1 y k≠-1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, por lo que el sistema es compatible determinado.
  • Si k=1, entonces M=\begin{pmatrix}1&3&2\\1&1&3\\3&7&7\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&3\\1&1\end{vmatrix}\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&3&-1\\1&1&2\\3&7&-2\end{vmatrix}=-2+18-7+3+6-14=4\neq0
    Luego, el rango de M* es 3 y el sistema es incompatible.
  • Si k=-1, entonces M=\begin{pmatrix}1&3&2\\1&1&3\\3&7&7\end{pmatrix} cuyo rango es 2 como demostramos en el caso k=1.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&3&-1\\1&1&-2\\3&7&-4\end{vmatrix}=-4-18-7+3+12+14=0
    Luego, el rango de M* es 2 y el sistema es compatible indeterminado.

b) En el caso k=-1, el sistema es:

\left\{\begin{array}{rl}x+3y+2z&=-1\\x+y+3z&=-2\\3x+7y+7z&=-4\end{array}\right.

Ya hemos discutido que el sistema es compatible indeterminado, porque las matrices de coeficientes y ampliada tienen rango 2, luego, el sistema es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x+3y+2z&=-1\\x+y+3z&=-2\end{array}\right.

Para resolverlo parametrizamos z=\lambda, resultando:

\left\{\begin{array}{rl}x+3y&=-1-2\lambda\\x+y&=-2-3\lambda\end{array}\right.

Si a la ecuación primera le restamos la segunda obtenemos:

2y=1+\lambda~;\\\\y=\dfrac{1+\lambda}2

Y sustituyendo en la segunda ecuación:

x=-2-3\lambda-\dfrac{1+\lambda}2=\dfrac{-4-6\lambda-1-\lambda}2=\dfrac{-5-7\lambda}2

La solución del sistema es (x,y,z)=(\frac{-5-7\lambda}2,\frac{1+\lambda}2,\lambda).

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s