Problema 739

Un dron se encuentra en el punto P = (2, -3, 1) y queremos dirigirlo en línea recta hasta el punto más cercano del plano de ecuación \pi:~3x+4z+15=0.

a) Calcular la ecuación de la recta, en forma paramétrica, que debe seguir el dron. ¿Qué distancia debe recorrer hasta llegar al plano?
b) Hallar las coordenadas del punto del plano donde llegará el dron.


Solución:

a) La recta perpendicular a un plano une a este plano con un punto exterior a él por el camino más corto.
La recta r perpendicular al plano tendrá por vector director el vector normal del plano, es decir:

\vec v_r=\vec n_{\pi}=(3,0,4)

Además, r pasa por P, luego, las ecuaciones paramétricas de r son:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2+3\lambda\\y=-3\\z=1+4\lambda\end{array}\right.


p739b) El punto de un plano más cercano a otro punto exterior a él es la proyección de este punto sobre el plano. Esta proyección Q es la intersección de la recta r perpendicular al plano y el propio plano.
Para calcular la intersección de una recta y un plano sustituimos las paramétricas de la recta en la implícita del plano y resolvemos:

\pi:~3x+4z+15=0

3\cdot(2+3\lambda)+4\cdot(1+4\lambda)+15=0~;\\\\6+9\lambda+4+16\lambda+15=0~;\\\\25+25\lambda=0~;\\\\\lambda=-1

Sustituimos este valor de λ en las paramétricas de la recta para obtener el valor de Q:

Q=(-1,-3,-3)

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