Problema 740

Considere la función f(x)=\dfrac{2x^3-5x+4}{1-x}.

a) Calcule su dominio y estudiar su continuidad. ¿Tiene alguna asíntota vertical?
b) Observe que f(-2)=-\frac23,~f(0)=4,~f(2)=-10. Razonar si, a partir de esta información, podemos deducir que el intervalo (-2, 0) contiene un cero de la función. ¿Podemos deducirlo para el intervalo (0, 2)? Encuentre un intervalo determinado por dos enteros consecutivos que contenga, como mínimo, un cero de esta función.


Solución:

a) El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador.

1-x=0~;\\x=1

Luego, el dominio de f es \mathbb R\setminus\{1\}.
Estudiamos si existe asíntota vertical en x=1:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{2x^3-5x+4}{1-x}=\dfrac1{0^-}=-\infty\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{2x^3-5x+4}{1-x}=\dfrac1{0^+}=+\infty

Luego, f presenta una asíntota vertical de ecuación x=1.


b) La función f es una función elemental y es continua en todo su dominio, en particular en el intervalo (-2,0), por tanto, aplicando el teorema de Bolzano,

f(-2)\cdot f(0)=-\dfrac23\cdot4=\dfrac{-8}3<0

existe un valor x=c en el intervalo (-2,0) tal que f(c)=0.

Podemos aproximar mejor el intervalo en el que se encuentra dicho cero de la función:

f(-1)=\dfrac72

Luego, dado que f(-2)\cdot f(-1)<0 entonces existe c en el intervalo (-2,-1) tal que f(c)=0.

En el intervalo (0,2) no podemos aplicar el teorema de Bolzano para deducir si f tiene un cero en ese intervalo ya que f no es continua, presenta una discontinuidad en x=1.

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