Problema 741

Sea la matriz M=\begin{pmatrix}1&a\\a&0\end{pmatrix}, en la que a es un parámetro real.

a) Calcular para qué valores del parámetro a se satisface la igualdad M^2-M-2I=\overline0, en la que I es la matriz identidad y \overline0 es la matriz nula, ambas de orden 2.
b) Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre una expresión general para calcular la matriz inversa de la matriz M y, a continuación, calcular la inversa de M para el caso a=\sqrt2.


Solución:

a) Se satisface la igualdad M^2-M-2I=\overline0.

M^2=\begin{pmatrix}1&a\\a&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&a\\a&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+a^2&a\\a&a^2\end{pmatrix}

M^2-M=\begin{pmatrix}1+a^2&a\\a&a^2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&a\\a&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2&0\\0&a^2\end{pmatrix}

Observamos que M^2-M=a^2I, luego:

M^2-M-2I=\overline0~;\\\\a^2I-2I=\overline0~;\\\\(a^2-2)I=\overline0\longrightarrow a^2-2=0

Ecuación cuyas soluciones son \boxed{a=\pm\sqrt2}.


b) La matriz inversa de M es M⁻¹, y cumple que

MM^{-1}=I

En las condiciones del apartado anterior tenemos:

M^2-M-2I=\overline0

entonces

2I=M^2-M~;\\\\2I=M(M-I)~;\\\\I=\dfrac12M(M-I)

de donde

M^{-1}=\dfrac12(M-I)=\dfrac12\left[\begin{pmatrix}1&a\\a&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\right]=\dfrac12\begin{pmatrix}0&a\\a&-1\end{pmatrix}~;\\\\\boxed{M^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac a2\\\frac a2&\frac{-1}2\end{pmatrix}}

Para a=\sqrt2 tenemos:

\boxed{M^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{\sqrt2}2\\\frac{\sqrt2}2&\frac{-1}2\end{pmatrix}}

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