Problema 742

Considere las funciones f(x)=x^2 y g(x)=\dfrac1x, y la recta x = e.

a) Hacer un esbozo de la región delimitada por sus gráficas y el eje de las abscisas. Calcular las coordenadas del punto de corte de y=f(x) con y=g(x).
b) Calcular el área de la región descrita en el apartado anterior.


Solución:

a) Ambas son funciones elementales.
La función f corresponde a función cuadrática cuya gráfica es una parábola convexa cuyo eje de simetría es la recta x=0 y que pasa por el punto (0,0).
La función g corresponde a una función de proporcionalidad inversa cuya gráfica es una hipérbola que ocupa el primer y tercer cuadrante, cuyas asíntotas son las rectas x=0 e y=0, y que pasa por los puntos (1,1) y (-1,-1).
Por último tenemos la recta vertical x=e.

p742

La región sombreada es la delimitada por las dos funciones y la recta.

Igualamos f y g para calcular donde se cortan ambas:

x^2=\dfrac1x~;\\\\x^3=1~;\\\\x=\sqrt[3]1=1

Se cortan en el punto (1,f(1))=(1,1).


b) El área S de la región sombreada es (recordar la tabla de integrales inmediatas):

\displaystyle S=\int_1^ex^2-\dfrac1x~dx=\left[\dfrac{x^3}3-\ln|x|\right]_1^e=\left(\dfrac{e^3}3-\ln|e|\right)-\left(\dfrac{1^3}3-\ln|1|\right)=\\\\=\dfrac{e^3}3-1-\dfrac13=\dfrac{e^3-4}3\text{ u.a.}

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