Problema 743

Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de 2 m². Sabemos que el precio de la madera es de 7,5 € / m para los lados horizontales y de 12,5 € / m para los lados verticales. Determine las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible. ¿Cuál es este coste mínimo?


Solución:

p743

Las dimensiones del rectángulo son x\times y. La función a optimizar es el precio del marco P:

P(x,y)=2\cdot7.5x+2\cdot12.5y=15x+25y\quad(*)

Sabemos que el área del rectángulo es 2 m², es decir:

x\cdot y =2

de donde, y=\dfrac2x.
Sustituyendo en la función precio P:

P(x)=15x+25\cdot\dfrac2x=\dfrac{15x^2+50}x

Para optimizar P comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

P'(x)=\dfrac{30x\cdot x-(15x^2+50)}{x^2}=\dfrac{15x^2-50}{x^2}=0~;\\\\15x^2-50=0~;\\\\x^2=\dfrac{10}3~;\\\\x=\pm\sqrt{\dfrac{10}3}\approx\pm1.83

El resultado negativo se descarta porque la longitud del marco no puede ser negativa.
Comprobamos que el resultado positivo corresponde a un mínimo estudiando la monotonía de P en el entorno de x=\sqrt{\frac{10}3}:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\sqrt{\frac{10}3})&(\sqrt{\frac{10}3},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }P'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }P(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

Por tanto, el precio alcanza un mínimo cuando x=\sqrt{\frac{10}3}\text{ m}. La dimensión vertical del marco es:

y=\dfrac2x=\sqrt{\dfrac{12}{10}}=\sqrt{\dfrac65}\approx1.1\text{ m}

Sustituyendo en (*), el precio total del marco es:

P(1.83,1.1)=15\cdot1.83^2+25\cdot1.1=54.95 €.

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