Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de 2 m². Sabemos que el precio de la madera es de 7,5 € / m para los lados horizontales y de 12,5 € / m para los lados verticales. Determine las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible. ¿Cuál es este coste mínimo?
Solución:
Las dimensiones del rectángulo son . La función a optimizar es el precio del marco P:
Sabemos que el área del rectángulo es 2 m², es decir:
de donde, .
Sustituyendo en la función precio P:
Para optimizar P comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):
El resultado negativo se descarta porque la longitud del marco no puede ser negativa.
Comprobamos que el resultado positivo corresponde a un mínimo estudiando la monotonía de P en el entorno de :
Por tanto, el precio alcanza un mínimo cuando . La dimensión vertical del marco es:
Sustituyendo en (*), el precio total del marco es:
€.
♦