Problema 743

Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de 2 m². Sabemos que el precio de la madera es de 7,5 € / m para los lados horizontales y de 12,5 € / m para los lados verticales. Determine las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible. ¿Cuál es este coste mínimo?

Solución:

p743

Las dimensiones del rectángulo son $x\times y$ . La función a optimizar es el precio del marco P:

$P(x,y)=2\cdot7.5x+2\cdot12.5y=15x+25y\quad(*)$

Sabemos que el área del rectángulo es 2 m², es decir:

$x\cdot y =2$

de donde, $y=\dfrac2x$ .
Sustituyendo en la función precio P:

$P(x)=15x+25\cdot\dfrac2x=\dfrac{15x^2+50}x$

Para optimizar P comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

$P'(x)=\dfrac{30x\cdot x-(15x^2+50)}{x^2}=\dfrac{15x^2-50}{x^2}=0~;\\\\15x^2-50=0~;\\\\x^2=\dfrac{10}3~;\\\\x=\pm\sqrt{\dfrac{10}3}\approx\pm1.83$

El resultado negativo se descarta porque la longitud del marco no puede ser negativa.
Comprobamos que el resultado positivo corresponde a un mínimo estudiando la monotonía de P en el entorno de $x=\sqrt{\frac{10}3}$ :

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\sqrt{\frac{10}3})&(\sqrt{\frac{10}3},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }P'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }P(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$