Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de 2 m². Sabemos que el precio de la madera es de 7,5 € / m para los lados horizontales y de 12,5 € / m para los lados verticales. Determine las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible. ¿Cuál es este coste mínimo?

Solución:

Las dimensiones del rectángulo son . La función a optimizar es el precio del marco P:

Sabemos que el área del rectángulo es 2 m², es decir:

de donde, .
Sustituyendo en la función precio P:

Para optimizar P comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

El resultado negativo se descarta porque la longitud del marco no puede ser negativa.
Comprobamos que el resultado positivo corresponde a un mínimo estudiando la monotonía de P en el entorno de :

Por tanto, el precio alcanza un mínimo cuando . La dimensión vertical del marco es:

Sustituyendo en (*), el precio total del marco es:

€.

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