Problema 744

Sean la recta r:~\left\{\begin{array}{l}x=2\\y-z=1\end{array}\right. y el plano \pi:~x-z=3.

a) Calcular la ecuación paramétrica de la recta que es perpendicular al plano π y que corta en el mismo punto en el que corta con la recta r.
b) Hallar los puntos de r que están a una distancia de \sqrt8 unidades del plano π.


Solución:

a) Calculamos el punto Q donde r corta con π, para ello resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las implícitas de r y π:

\left\{\begin{array}{l}x=2\\y-z=1\\x-z=3\end{array}\right.

La solución de este sistema es Q=(x,y,z)=(2,0,-1).

La recta s que nos piden, además de pasar por Q, es perpendicular a π por lo que su vector director es:

\vec v_s=\vec n_{\pi}=(1,0,-1)

La recta buscada, s, es en forma paramétrica:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=2+\lambda\\y=0\\z=-1-\lambda\end{array}\right.


b) En primer lugar calculamos el plano \alpha paralelo a π que diste \sqrt8 unidades de π. Para ello utilizamos la fórmula 1 de la distancia entre planos paralelos.
Sea \pi:~x-z-3=0 y \alpha:~x-z+D=0:

d(\alpha,\pi)=\sqrt8=\dfrac{|D-(-3)|}{\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}}=\dfrac{|D+3|}{\sqrt2}~;\\\\\sqrt8\cdot\sqrt2=|D+3|~;\\\\|D+3|=4

Ecuación en valor absoluto cuyas soluciones son:

\bullet~D+3=4\rightarrow D=1\\\bullet~-D-3=4\rightarrow D=-7

Luego, hay dos planos \alpha_1,~\alpha_2 paralelos a π que distan \sqrt8 unidades de π:

\alpha_1:~x-z+1=0\\\alpha_2:~x-z-7=0

En segundo lugar calculamos los puntos donde la recta r corta a estos planos obteniendo así los puntos que nos piden:

P_1=r\cap\alpha_1:~\left\{\begin{array}{l}x=2\\y-z=1\\x-z=-1\end{array}\right.

Sistema cuya solución es P_1=(2,4,3)

P_2=r\cap\alpha_2:~\left\{\begin{array}{l}x=2\\y-z=1\\x-z=7\end{array}\right.

Sistema cuya solución es P_2=(2,-4,-5)

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s