Problema 745

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real a:

\left\{\begin{array}{rl}ax+7y+5z&=0\\x+ay+z&=3\\y+z&=-2\end{array}\right.

a) Discutir el sistema para los diferentes valores del parámetro a.
b) Resolver el sistema para el caso a = 2.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}a&7&5\\1&a&1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\-2\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M por determinantes:

|M|=\begin{vmatrix}a&7&5\\1&a&1\\0&1&1\end{vmatrix}=a^2+5-7-a=a^2-a-2

Determinante que se anula si a=2, a=-1. Entonces:

  • Si a≠2 y a≠-1, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si a=2, entonces M=\begin{pmatrix}2&7&5\\1&2&1\\0&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada por determinantes:
    \begin{vmatrix}2&7&0\\1&2&3\\0&1&-2\end{vmatrix}=-8+14-6=0
    Luego, el rango de M* también es 2, y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si a=-1, entonces M=\begin{pmatrix}-1&7&5\\1&-1&1\\0&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\0&1\end{vmatrix}=1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada por determinantes:
    \begin{vmatrix}-1&7&0\\1&-1&3\\0&1&-2\end{vmatrix}=-2+14+3\neq0
    Luego, el rango de M* es 3, y el sistema es incompatible.

b) Para a=2 tenemos el sistema

\left\{\begin{array}{rl}2x+7y+5z&=0\\x+2y+z&=3\\y+z&=-2\end{array}\right.

que es equivalente a

\left\{\begin{array}{rl}x+2y+z&=3\\y+z&=-2\end{array}\right.

Para resolverlo parametrizamos y=\lambda, quedando el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+z&=3-2\lambda\\z&=-2-\lambda\end{array}\right.

de donde obtenemos z=-2-\lambda, y sustituyendo en la primera ecuación

x=3-2\lambda-(-2-\lambda)=5-\lambda

La solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=5-\lambda\\y=\lambda\\z=-2-\lambda\end{array}\right.

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