Considere la función f(x), que depende de los parámetros reales n y m y está definida por
a) Calcular los valores de n y m para que la función sea continua en todo el conjunto de los números reales.
b) Para el caso n = -4 y m = -6, calcular el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de las abscisas y las rectas x = 0 y x = 4.
Solución:
a) Las tres funciones parciales son continuas en todo 
- Continuidad en x=0:
Para que f sea continua en x=0, ha de ser n=1. - Continuidad en x=2:
Para que f sea continua en x=2, ha de ser.
Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones anteriores:
Sistema cuya solución es n=1, m=-1.
b) Para el caso n = -4 y m = -6 tenemos la función
Representamos la función f en el intervalo (0,4].
En el intervalo (0,2], la función a representar es 
En el intervalo (2,4], la función a representar es 
El área S limitada por f y el eje de abscisas entre x=0 y x=4 es:
(Recordar la tabla de integrales inmediatas)
![\displaystyle S=\left|\int_0^2\dfrac{x^2}4-4~dx\right|+\left|\int_2^4\dfrac{3x}2-6~dx\right|=\\\\=\left|\left[\dfrac{x^3}{12}-4x\right]_0^2\right|+\left|\left[\dfrac{3x^2}4-6x\right]_2^4\right|=\\\\=\left|\left(\dfrac8{12}-8\right)-(0)\right|+\left|(12-24)-(3-12)\right|=\\\\=\left|\dfrac{-22}3\right|+|-3|=\dfrac{22}3+3=\boxed{\dfrac{31}3\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cleft%7C%5Cint_0%5E2%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D4-4%7Edx%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%5Cint_2%5E4%5Cdfrac%7B3x%7D2-6%7Edx%5Cright%7C%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%7C%5Cleft%5B%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D%7B12%7D-4x%5Cright%5D_0%5E2%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B3x%5E2%7D4-6x%5Cright%5D_2%5E4%5Cright%7C%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%7C%5Cleft%28%5Cdfrac8%7B12%7D-8%5Cright%29-%280%29%5Cright%7C%2B%5Cleft%7C%2812-24%29-%283-12%29%5Cright%7C%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%7C%5Cdfrac%7B-22%7D3%5Cright%7C%2B%7C-3%7C%3D%5Cdfrac%7B22%7D3%2B3%3D%5Cboxed%7B%5Cdfrac%7B31%7D3%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\left|\int_0^2\dfrac{x^2}4-4~dx\right|+\left|\int_2^4\dfrac{3x}2-6~dx\right|=\\\\=\left|\left[\dfrac{x^3}{12}-4x\right]_0^2\right|+\left|\left[\dfrac{3x^2}4-6x\right]_2^4\right|=\\\\=\left|\left(\dfrac8{12}-8\right)-(0)\right|+\left|(12-24)-(3-12)\right|=\\\\=\left|\dfrac{-22}3\right|+|-3|=\dfrac{22}3+3=\boxed{\dfrac{31}3\text{ u.a.}}")
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