Problema 746

Considere la función f(x), que depende de los parámetros reales n y m y está definida por

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^x&\text{si}&x\leq0\\\\\dfrac{x^2}4+n&\text{si}&0<x\leq2\\\\\dfrac{3x}2+m&\text{si}&x>2\end{array}\right.

a) Calcular los valores de n y m para que la función sea continua en todo el conjunto de los números reales.
b) Para el caso n = -4 y m = -6, calcular el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de las abscisas y las rectas x = 0 y x = 4.


Solución:

a) Las tres funciones parciales son continuas en todo \mathbb R. Queda estudiar la continuidad de f en x=0 y x=2, y calcular m y n para que f sea continua en esos puntos.

  • Continuidad en x=0:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x^2}4+n=n\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}e^x=e^0=1\\\\\bullet~f(0)=e^0=1
    Para que f sea continua en x=0, ha de ser n=1.
  • Continuidad en x=2:
    \displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{3x}2+m=3+m\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac{x^2}4+n=1+n\\\\\bullet~f(2)=\dfrac{2^2}4+n=1+n
    Para que f sea continua en x=2, ha de ser 3+m=1+n.

Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones anteriores:

\left\{\begin{array}{l}n=1\\3+m=1+n\end{array}\right.

Sistema cuya solución es n=1, m=-1.


b) Para el caso n = -4 y m = -6 tenemos la función

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^x&\text{si}&x\leq0\\\\\dfrac{x^2}4-4&\text{si}&0<x\leq2\\\\\dfrac{3x}2-6&\text{si}&x>2\end{array}\right.

Representamos la función f en el intervalo (0,4].
En el intervalo (0,2], la función a representar es y=\dfrac{x^2}4-4, que es un parábola convexa que corta al eje x en (-4,0) y (4,0), corta al eje y en (0,-4) y pasa por (2,-3).
En el intervalo (2,4], la función a representar es y=\dfrac{3x}2-6, que es una recta creciente que pasa por los puntos (2,-3) y (4,0).

p746

El área S limitada por f y el eje de abscisas entre x=0 y x=4 es:
(Recordar la tabla de integrales inmediatas)

\displaystyle S=\left|\int_0^2\dfrac{x^2}4-4~dx\right|+\left|\int_2^4\dfrac{3x}2-6~dx\right|=\\\\=\left|\left[\dfrac{x^3}{12}-4x\right]_0^2\right|+\left|\left[\dfrac{3x^2}4-6x\right]_2^4\right|=\\\\=\left|\left(\dfrac8{12}-8\right)-(0)\right|+\left|(12-24)-(3-12)\right|=\\\\=\left|\dfrac{-22}3\right|+|-3|=\dfrac{22}3+3=\boxed{\dfrac{31}3\text{ u.a.}}

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