Considere la función f(x), que depende de los parámetros reales n y m y está definida por
a) Calcular los valores de n y m para que la función sea continua en todo el conjunto de los números reales.
b) Para el caso n = -4 y m = -6, calcular el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de las abscisas y las rectas x = 0 y x = 4.
Solución:
a) Las tres funciones parciales son continuas en todo . Queda estudiar la continuidad de f en x=0 y x=2, y calcular m y n para que f sea continua en esos puntos.
- Continuidad en x=0:
Para que f sea continua en x=0, ha de ser n=1. - Continuidad en x=2:
Para que f sea continua en x=2, ha de ser.
Resolvemos el sistema formado por las dos condiciones anteriores:
Sistema cuya solución es n=1, m=-1.
b) Para el caso n = -4 y m = -6 tenemos la función
Representamos la función f en el intervalo (0,4].
En el intervalo (0,2], la función a representar es , que es un parábola convexa que corta al eje x en (-4,0) y (4,0), corta al eje y en (0,-4) y pasa por (2,-3).
En el intervalo (2,4], la función a representar es , que es una recta creciente que pasa por los puntos (2,-3) y (4,0).
El área S limitada por f y el eje de abscisas entre x=0 y x=4 es:
(Recordar la tabla de integrales inmediatas)
♦