Considere los planos
donde a es un parámetro real.
a) Estudiar para qué valores del parámetro a los tres planos se cortan en un punto.
b) Compruebe que para el caso a = 1 la interpretación geométrica del sistema formado por las ecuaciones de los tres planos es la que se muestra en la siguiente imagen:
Solución:
a) Con las ecuaciones de los tres planos formamos un sistema:
Escribimos este sistema en forma matricial :
Para que los tres planos se corten en un punto el sistema ha de ser compatible determinado. Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema será compatible determinado si rg(M)=rg(M*)=n=3.
Calculamos el rango de M utilizando determinantes:
Determinante cuyas raíces o ceros son a=1 y a=-1, luego, para a≠1 y a≠-1, el sistema es compatible determinado y, por tanto, los tres planos se cortan en un punto.
b) Para a=1, tenemos el sistema
Y en forma matricial:
Los vectores normales de los planos son:
Observamos que el rango de M es 2 ya que .
Calculamos el rango de la matriz ampliada M*:
Luego, el rango de la matriz ampliada es 3.
Por último, observamos que son paralelos, ya que sus vectores normales cumplen la condición de paralelismo:
Por tanto, según se explica aquí, tenemos dos planos paralelos y uno que los corta.
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