Problema 747

Considere los planos

\pi_1:~2x+ay+z=5,~\pi_2:~x+ay+z=1,~\pi_3:~2x+(a+1)y+(a+1)z=0

donde a es un parámetro real.

a) Estudiar para qué valores del parámetro a los tres planos se cortan en un punto.
b) Compruebe que para el caso a = 1 la interpretación geométrica del sistema formado por las ecuaciones de los tres planos es la que se muestra en la siguiente imagen:

p747


Solución:

a) Con las ecuaciones de los tres planos formamos un sistema:

\left\{\begin{array}{rl}2x+ay+z&=5\\x+ay+z&=1\\2x+(a+1)y+(a+1)z&=0\end{array}\right.

Escribimos este sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}2&a&1\\1&a&1\\2&a+1&a+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}

Para que los tres planos se corten en un punto el sistema ha de ser compatible determinado. Según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema será compatible determinado si rg(M)=rg(M*)=n=3.
Calculamos el rango de M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}2&a&1\\1&a&1\\2&a+1&a+1\end{vmatrix}=2a(a+1)+2a+a+1-2a-a(a+1)-2(a+1)=\\\\=a(a+1)+a+1-2(a+1)=a(a+1)-a-1=a(a+1)-(a+1)=(a-1)(a+1)

Determinante cuyas raíces o ceros son a=1 y a=-1, luego, para a≠1 y a≠-1, el sistema es compatible determinado y, por tanto, los tres planos se cortan en un punto.


b) Para a=1, tenemos el sistema

\left\{\begin{array}{rl}2x+y+z&=5\\x+y+z&=1\\2x+2y+2z&=0\end{array}\right.

Y en forma matricial:

\begin{pmatrix}2&1&1\\1&1&1\\2&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}

Los vectores normales de los planos son:

\vec n_{\pi_1}=(2,1,1)\\\vec n_{\pi_2}=(1,1,1)\\\vec n_{\pi_3}=(2,2,2)

Observamos que el rango de M es 2 ya que \begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=1\neq0.
Calculamos el rango de la matriz ampliada M*:

\begin{vmatrix}2&1&5\\1&1&1\\2&2&0\end{vmatrix}=2+10-10-4=-2\neq0

Luego, el rango de la matriz ampliada es 3.

Por último, observamos que \pi_2\text{ y }\pi_3 son paralelos, ya que sus vectores normales cumplen la condición de paralelismo:

\dfrac12=\dfrac12=\dfrac12

Por tanto, según se explica aquí, tenemos dos planos paralelos y uno que los corta.

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