Problema 748

Sabemos que una función f(x) es continua y derivable en todos los números reales, que tiene como segunda derivada $f''(x)=6x$ y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es horizontal.

a) Determinar la abscisa de los puntos de inflexión de la función f y los intervalos de concavidad y convexidad. Justificar que la función f tiene un mínimo relativo en x = 1.
b) Sabiendo, además, que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es y = 5, calcular la expresión de la función f.

Solución:

a) Para calcular los puntos de inflexión de una función, calculamos las raíces de la segunda derivada de dicha función $(f''(x)=0)$ :

$6x=0~;\\x=0$

La abscisa del punto de inflexión de f es x=0.
Con este punto de inflexión y sabiendo que el dominio de f es $\mathbb R$ , nos piden estudiar la curvatura de f. Estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla de curvatura:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\cap&\cup\\\hline\end{array}$

f es convexa en $x\in(0,+\infty)$ .
f es cóncava en $x\in(-\infty,0)$ .

Nos piden también justificar que f presenta un mínimo en x=1.
Para que en x=1 la función f presente un mínimo, es suficiente con que se cumplan estas dos condiciones:

Ha de ser $f'(1)=0$ . En efecto: en el enunciado nos indican que en x=1, f tiene una recta tangente horizontal, luego, $f'(1)=0$ .
Recordar que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, $x_0$ , coincide con el valor de la derivada primera de f en dicho punto, así como que la pendiente de una recta horizontal es 0: $\boxed{m_{rt}=f'(x_0)}$ .
Ha de ser $f''(1)>0$ . En efecto:
$f''(1)=6\cdot1=6>0$
Recordar que, según el test de la derivada segunda, un punto crítico es un mínimo si la segunda derivada de f en ese punto es positiva.