Problema 748

Sabemos que una función f(x) es continua y derivable en todos los números reales, que tiene como segunda derivada f''(x)=6x y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es horizontal.

a) Determinar la abscisa de los puntos de inflexión de la función f y los intervalos de concavidad y convexidad. Justificar que la función f tiene un mínimo relativo en x = 1.
b) Sabiendo, además, que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es y = 5, calcular la expresión de la función f.


Solución:

a) Para calcular los puntos de inflexión de una función, calculamos las raíces de la segunda derivada de dicha función (f''(x)=0):

6x=0~;\\x=0

La abscisa del punto de inflexión de f es x=0.
Con este punto de inflexión y sabiendo que el dominio de f es \mathbb R, nos piden estudiar la curvatura de f. Estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla de curvatura:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\cap&\cup\\\hline\end{array}

  • f es convexa en x\in(0,+\infty).
  • f es cóncava en x\in(-\infty,0).

Nos piden también justificar que f presenta un mínimo en x=1.
Para que en x=1 la función f presente un mínimo, es suficiente con que se cumplan estas dos condiciones:

  • Ha de ser f'(1)=0. En efecto: en el enunciado nos indican que en x=1, f tiene una recta tangente horizontal, luego, f'(1)=0.
    Recordar que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto, x_0, coincide con el valor de la derivada primera de f en dicho punto, así como que la pendiente de una recta horizontal es 0: \boxed{m_{rt}=f'(x_0)}.
  • Ha de ser f''(1)>0. En efecto:
    f''(1)=6\cdot1=6>0
    Recordar que, según el test de la derivada segunda, un punto crítico es un mínimo si la segunda derivada de f en ese punto es positiva.

Luego, en x=1, f presenta un mínimo.


b) Para obtener la ecuación de f tendremos que integrar dos veces a partir de f´´:

\displaystyle f'(x)=\int f(x)~dx=\int6x~dx=\dfrac{6x^2}2+k_0=3x^2+k_0

Dado que f'(1)=0, entonces:

f'(1)=3\cdot1^2+k_0=0~;\\k_0=-3

Luego, f'(x)=3x^2-3.
Obtenemos f integrando f ´:

\displaystyle f(x)=\int f'(x)~dx=\int3x^2-3~dx=\dfrac{3x^3}3-3x+k_1=x^3-3x+k_1

Dado que cuando x=1 se tiene y=5, entonces f(1)=5:

f(1)=1^3-3\cdot1+k_1=5~;\\1-3+k_1=5~;\\k_1=7

Luego, \boxed{f(x)=x^3-3x+7}.

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