Sabemos que una función f(x) es continua y derivable en todos los números reales, que tiene como segunda derivada y que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es horizontal.
a) Determinar la abscisa de los puntos de inflexión de la función f y los intervalos de concavidad y convexidad. Justificar que la función f tiene un mínimo relativo en x = 1.
b) Sabiendo, además, que la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 es y = 5, calcular la expresión de la función f.
Solución:
a) Para calcular los puntos de inflexión de una función, calculamos las raíces de la segunda derivada de dicha función :
La abscisa del punto de inflexión de f es x=0.
Con este punto de inflexión y sabiendo que el dominio de f es , nos piden estudiar la curvatura de f. Estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla de curvatura:
- f es convexa en
.
- f es cóncava en
.
Nos piden también justificar que f presenta un mínimo en x=1.
Para que en x=1 la función f presente un mínimo, es suficiente con que se cumplan estas dos condiciones:
- Ha de ser
. En efecto: en el enunciado nos indican que en x=1, f tiene una recta tangente horizontal, luego,
.
Recordar que la pendiente de la recta tangente a una función en un punto,, coincide con el valor de la derivada primera de f en dicho punto, así como que la pendiente de una recta horizontal es 0:
.
- Ha de ser
. En efecto:
Recordar que, según el test de la derivada segunda, un punto crítico es un mínimo si la segunda derivada de f en ese punto es positiva.
Luego, en x=1, f presenta un mínimo.
b) Para obtener la ecuación de f tendremos que integrar dos veces a partir de f´´:
Dado que , entonces:
Luego, .
Obtenemos f integrando f ´:
Dado que cuando x=1 se tiene y=5, entonces :
Luego, .
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