Problema 749

Considere las rectas y = x e y = 2x, y la parábola y = x².

a) Calcule los puntos de intersección entre las gráficas de las diferentes funciones y haga un esbozo de la región delimitada por las gráficas.
b) Calcular el área de la región del apartado anterior.


Solución:

a) Los puntos de intersección de dos funciones se obtienen igualando dichas funciones y resolviendo la ecuación:

  • Punto de corte entre y=x e y=2x:
    x=2x~;x=0
    El punto de corte es (0,0).
  • Punto de corte entre  y=x e y=x²:
    x=x^2~;\\x^2-x=0~;\\x(x-1)=0~;\\x=0,~x=1
    Los puntos de corte son (0,0) y (1,1).
  • Punto de corte entre y=2x e y=x²:
    2x=x^2~;\\x^2-2x=0~;\\x(x-2)=0~;\\x=0,~x=2
    Los puntos de corte son (0,0) y (2,4).

Sabemos que y=x es una recta creciente que pasa por los puntos (0,0) y (1,1).
La función y=2x es una recta creciente que pasa por los puntos (0,0) y (2,4).
La función y=x² tiene por gráfica una parábola convexa con vértice en el punto (0,0) y que pasa también por los puntos (1,1) y (2,4).
Con todos estos datos podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente:

p749


b) Las dos rectas y la parábola encierran la región sombreada cuyo área S es:

\displaystyle S=\int_0^1(2x-x)~dx+\int_1^2(2x-x^2)~dx=\int_0^1(x)~dx+\int_1^2(2x-x^2)~dx=\\\\=\left[\dfrac{x^2}2\right]_0^1+\left[x^2-\dfrac{x^3}3\right]_1^2=\dfrac12-0+\left(4-\dfrac83\right)-\left(1-\dfrac13\right)=\boxed{\dfrac76\text{ u.a.}}

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