Considere las rectas y = x e y = 2x, y la parábola y = x².
a) Calcule los puntos de intersección entre las gráficas de las diferentes funciones y haga un esbozo de la región delimitada por las gráficas.
b) Calcular el área de la región del apartado anterior.
Solución:
a) Los puntos de intersección de dos funciones se obtienen igualando dichas funciones y resolviendo la ecuación:
- Punto de corte entre y=x e y=2x:
El punto de corte es (0,0). - Punto de corte entre y=x e y=x²:
Los puntos de corte son (0,0) y (1,1). - Punto de corte entre y=2x e y=x²:
Los puntos de corte son (0,0) y (2,4).
Sabemos que y=x es una recta creciente que pasa por los puntos (0,0) y (1,1).
La función y=2x es una recta creciente que pasa por los puntos (0,0) y (2,4).
La función y=x² tiene por gráfica una parábola convexa con vértice en el punto (0,0) y que pasa también por los puntos (1,1) y (2,4).
Con todos estos datos podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente:
b) Las dos rectas y la parábola encierran la región sombreada cuyo área S es:
![\displaystyle S=\int_0^1(2x-x)~dx+\int_1^2(2x-x^2)~dx=\int_0^1(x)~dx+\int_1^2(2x-x^2)~dx=\\\\=\left[\dfrac{x^2}2\right]_0^1+\left[x^2-\dfrac{x^3}3\right]_1^2=\dfrac12-0+\left(4-\dfrac83\right)-\left(1-\dfrac13\right)=\boxed{\dfrac76\text{ u.a.}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_0%5E1%282x-x%29%7Edx%2B%5Cint_1%5E2%282x-x%5E2%29%7Edx%3D%5Cint_0%5E1%28x%29%7Edx%2B%5Cint_1%5E2%282x-x%5E2%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cdfrac%7Bx%5E2%7D2%5Cright%5D_0%5E1%2B%5Cleft%5Bx%5E2-%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D3%5Cright%5D_1%5E2%3D%5Cdfrac12-0%2B%5Cleft%284-%5Cdfrac83%5Cright%29-%5Cleft%281-%5Cdfrac13%5Cright%29%3D%5Cboxed%7B%5Cdfrac76%5Ctext%7B+u.a.%7D%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_0^1(2x-x)~dx+\int_1^2(2x-x^2)~dx=\int_0^1(x)~dx+\int_1^2(2x-x^2)~dx=\\\\=\left[\dfrac{x^2}2\right]_0^1+\left[x^2-\dfrac{x^3}3\right]_1^2=\dfrac12-0+\left(4-\dfrac83\right)-\left(1-\dfrac13\right)=\boxed{\dfrac76\text{ u.a.}}")
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