Considere las rectas y = x e y = 2x, y la parábola y = x².
a) Calcule los puntos de intersección entre las gráficas de las diferentes funciones y haga un esbozo de la región delimitada por las gráficas.
b) Calcular el área de la región del apartado anterior.
Solución:
a) Los puntos de intersección de dos funciones se obtienen igualando dichas funciones y resolviendo la ecuación:
- Punto de corte entre y=x e y=2x:
El punto de corte es (0,0). - Punto de corte entre y=x e y=x²:
Los puntos de corte son (0,0) y (1,1). - Punto de corte entre y=2x e y=x²:
Los puntos de corte son (0,0) y (2,4).
Sabemos que y=x es una recta creciente que pasa por los puntos (0,0) y (1,1).
La función y=2x es una recta creciente que pasa por los puntos (0,0) y (2,4).
La función y=x² tiene por gráfica una parábola convexa con vértice en el punto (0,0) y que pasa también por los puntos (1,1) y (2,4).
Con todos estos datos podemos esbozar una gráfica semejante a la siguiente:
b) Las dos rectas y la parábola encierran la región sombreada cuyo área S es:
♦