Problema 750

Considere la matriz \begin{pmatrix}1&0&a-1\\1&a&1\\4&3a&1\end{pmatrix}, donde a es un parámetro real.

a) Encuentre los valores del parámetro a para los que la matriz es invertible.
b) Discutir la posición relativa de los planos

\pi_1:~x+(a-1)z=0\\\pi_2:~x+ay+z=1\\\pi_3:~4x+3ay+z=3

en función de los valores del parámetro a.


Solución:

a) Una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero.

\begin{vmatrix}1&0&a-1\\1&a&1\\4&3a&1\end{vmatrix}=a\cdot\begin{vmatrix}1&0&a-1\\1&1&1\\4&3&1\end{vmatrix}=a(1+3(a-1)-4(a-1)-3)=\\\\=a(1+3a-3-4a+4-3)=a(-a-1)

Determinante cuyas raíces son a=0 y a=-1, luego, la matriz es invertible para todos los número reales excepto a=0 y a=-1.


b) Para discutir la posición relativa de tres planos, comenzamos construyendo un sistema de ecuaciones con esos tres planos:

\left\{\begin{array}{rl}x+(a-1)z&=0\\x+ay+z&=1\\4x+3ay+z=3\end{array}\right.

Lo escribimos en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&0&a-1\\1&a&1\\4&3a&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}

También escribimos los vectores normales de cada plano:

\vec n_{\pi_1}=(1,0,a-1)\\\vec n_{\pi_2}=(1,a,1)\\\vec n_{\pi_2}=(4,3a,1)

Recordar la tabla de posiciones relativas de tres planos.

  • Para a≠0 y a≠-1, el rango de M es 3 como se demuestra en el apartado a). En este caso el rango de la matriz ampliada M* también es 3, luego, para a≠0 y a≠-1, los tres planos se cortan en un punto.
    tresplanos1
  • Para a=0, tenemos la matriz M=\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&0&1\\4&0&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada usando determinantes:
    \begin{vmatrix}1&-1&0\\1&1&1\\4&1&3\end{vmatrix}=3-4+3-1=1\neq0
    Luego, el rango de M* es 3.
    En este caso, los vectores normales son:
    \vec n_{\pi_1}=(1,0,-1)\\\vec n_{\pi_2}=(1,0,1)\\\vec n_{\pi_2}=(4,0,1)
    No hay ninguno vector paralelo a otro, luego, los tres planos se cortan dos a dos.
    (Recordar la condición de paralelismo de vectores).
    tresplanos3
  • Si a=-1, tenemos la matriz M=\begin{pmatrix}1&0&-2\\1&-1&1\\4&-3&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}=-1\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada usando determinantes:
    \begin{vmatrix}1&0&0\\1&-1&1\\4&-3&3\end{vmatrix}=-3+3=0
    Luego, el rango de la matriz ampliada M* también es 2.
    Los vectores normales son:
    \vec n_{\pi_1}=(1,0,-2)\\\vec n_{\pi_2}=(1,-1,1)\\\vec n_{\pi_2}=(4,-3,1)
    No hay dos vectores normales proporcionales, luego, tenemos tres planos no paralelos que se cortan en una recta.
    tresplanos5

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