Problema 751

Sean las matrices A=\begin{pmatrix}2&-1\\-6&3\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}.

a) Calcule A · B y B · A.
b) Justificar que si el producto de dos matrices cuadradas no nulas tiene por resultado la matriz nula, entonces el determinante de ambas matrices debe ser cero.


Solución:

a) El producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa en general.

AB=\begin{pmatrix}2&-1\\-6&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

BA=\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-6&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&2\\-8&4\end{pmatrix}


b) Tomemos las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda matriz como vectores no nulos.
El producto de matrices n×n se obtiene multiplicando escalarmente los vectores fila de la primera matriz por los vectores columna de la segunda:

\begin{pmatrix}F_1\\F_2\\\vdots\\F_n\end{pmatrix}_{n\times n}\begin{pmatrix}C_1&C_2&\dots&C_n\end{pmatrix}_{n\times n}=\begin{pmatrix}0&0&\dots&0\\0&0&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&0\end{pmatrix}_{n\times n}

Para que un vector fila de la primera matriz al multiplicarlo escalarmente por un vector columna de la segunda matriz de cero, estos vectores han de ser perpendiculares, y por tanto, linealmente independientes.
Recordamos que en un espacio de dimensión n puede haber un máximo de n vectores linealmente independientes.
Entonces, suponiendo que el rango de la segunda matriz es n, si un vector fila de la primera matriz es perpendicular a los n vectores columna de la segunda matriz, significa que hay n+1 vectores linealmente independientes, lo cual es absurdo, luego, al menos una de las columnas de la segunda matriz ha de ser combinación lineal de las otras, y su determinante, por tanto, valer cero.

De la misma forma se puede razonar que entre los vectores fila de la primera matriz, al menos uno ha de ser combinación lineal del resto, por tanto, el determinante de la primera matriz también tiene que ser cero.

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