Problema 752

Considere la función f(x)=\dfrac1{1+x^2}.

a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en aquellos puntos en que la recta tangente es horizontal.
b) Calcular las coordenadas del punto de la gráfica de la función f (x) en que la pendiente de la recta tangente es máximo.


Solución:

a) Si la recta tangente a la función f es horizontal en punto x=x_0, entonces:

f'(x_0)=0

Luego:

f'(x)=\dfrac{-1}{(1+x^2)^2}\cdot2x=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}

Igualamos a 0 y resolvemos:

\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}=0~;\\\\-2x=0~;\\\\x=0

En x=0, la función f tiene una recta tangente horizontal. Su ecuación es:

y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)

En nuestro caso x_0=0, luego:

y-f(0)=f'(0)(x-0)~;\\y-1=0~;\\\boxed{rt:~y=1}


b) La pendiente de la recta tangente a una función se encuentra en los puntos de inflexión donde haya cambio de curvatura de convexa a cóncava.
Calculamos los puntos de inflexión de f, recordar la tabla de derivadas:

f'(x)=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}\\\\f''(x)=\dfrac{-2(1+x^2)^2-(-2x)2(1+x^2)2x}{(1+x^2)^4}=\dfrac{-2(1+x^2)+8x^2}{(1+x^2)^3}=\dfrac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}=0\\\\6x^2-2=0~;\\\\x^2=\dfrac13~;\\\\x=\pm\dfrac{\sqrt3}3

Sabiendo que el dominio de esta función es \mathbb R, estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\frac{\sqrt3}3)&(-\frac{\sqrt3}3,\frac{\sqrt3}3)&(\frac{\sqrt3}3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\cup&\cap&\cup\\\hline\end{array}

La pendiente de la recta tangente es máxima en x=-\frac{\sqrt3}3,~y=f(-\frac{\sqrt3}3)=\dfrac34.

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