Problema 753

Sean P, Q y R los puntos de intersección del plano de ecuación x+4y+2z=4 con los tres ejes de coordenadas OX, OY y OZ, respectivamente.

a) Calcule los puntos P, Q y R, y el perímetro del triángulo de vértices P, Q y R.
b) Calcular el área del triángulo de vértices P, Q y R.


Solución:

p753

a) Recordamos las ecuaciones implícitas de los ejes de coordenadas:

\text{Eje }x:~\left\{\begin{array}{l}y=0\\z=0\end{array}\right.\\\\\text{Eje }y:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\z=0\end{array}\right.\\\\\text{Eje }z:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.

Obtenemos los puntos donde el plano \alpha:~x+4y+2z=4 corta a los ejes resolviendo el sistema formado por la unión de sus ecuaciones implícitas:

P=\text{Eje }x\cap\alpha:~\left\{\begin{array}{l}y=0\\z=0\\x+4y+2z=4\end{array}\right.\longrightarrow P=(4,0,0)\\\\Q=\text{Eje }y\cap\alpha:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\z=0\\x+4y+2z=4\end{array}\right.\longrightarrow Q=(0,1,0)\\\\R=\text{Eje }z\cap\alpha:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\\x+4y+2z=4\end{array}\right.\longrightarrow R=(0,0,2)

El perímetro p del triángulo formado por P, Q y R es:

p=|\overrightarrow{PQ}|+|\overrightarrow{QR}|+|\overrightarrow{PR}|

\overrightarrow{PQ}=(0,1,0)-(4,0,0)=(-4,1,0)\\\overrightarrow{QR}=(0,0,2)-(0,1,0)=(0,-1,2)\\\overrightarrow{PR}=(0,0,2)-(4,0,0)=(-4,0,2)

Luego:

p=\sqrt{(-4)^2+1^2+0^2}+\sqrt{0^2+(-1)^2+2^2}+\sqrt{(-4)^2+0^2+2^2}=\\\\=\sqrt{17}+\sqrt5+\sqrt{20}\approx10.83\text{ u.l.}


b) El área S del triángulo formado por los puntos P, Q y R es:

\boxed{S=\dfrac{|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}|}2}

\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-4&1&0\\-4&0&2\end{vmatrix}=2\vec\imath+4\vec k+8\vec\jmath=(2,8,4)

Luego, el área es:

S=\dfrac{\sqrt{2^2+8^2+4^2}}2=\dfrac{2\sqrt{21}}2=\sqrt{21}\text{ u.a.}

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