Problema 754

Considere la función f(x)=\dfrac{\ln(x)}x.

a) Calcular el dominio de la función f, los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes de coordenadas, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
b) Calcular el área de la región del plano determinada por la gráfica de la función f, las rectas x = 1 y x = e, y el eje de las abscisas.


Solución:

a) Por un lado, la función logaritmo solo admite valores mayores que cero, x\geq0, y por otro lado, el denominador no puede anularse, luego, el dominio es:

\text{Dom }f=(0,+\infty)

La función f no corta con el eje y. Veamos si corta con el eje x (y=0):

0=\dfrac{\ln x}x~;\\\\\ln x=0~;\\\\x=e^0=1

Luego, corta al eje x en el punto (1,0).

Para estudiar la monotonía comenzamos calculando los puntos críticos de f:

f'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}=0~;\\\\1-\ln x=0~;\\\\\ln x=1~;\\\\x=e^1=e

Teniendo en cuenta el dominio y el punto crítico calculado, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,e)&(e,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(0,e).
  • f decrece en x\in(e,+\infty).

b) Dado que f corta al eje x en x=1 y es creciente hasta x=e, entonces, f es positiva en todo el intervalo (1,e), luego, el área S que se pide es:

\displaystyle S=\int_1^e\dfrac{\ln(x)}x~dx=\int_1^e\ln x\cdot\dfrac1x~dx=\left[\dfrac{\ln^2x}2\right]_1^e=\dfrac12\cdot\Big[\ln^2x\Big]_1^e=\\\\=\dfrac12\cdot(\ln^2e-\ln^21)=\dfrac12\cdot(1^2-0^2)=\boxed{\dfrac12\text{ u.a.}}

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