Problema 755

Considera la función f definida por

$f(x)=\dfrac{x^2+3x+4}{2x+2}$

para x≠-1.

a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f.
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

Solución:

a) Si existe asíntota vertical será en x=-1:

$\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{x^2+3x+4}{2x+2}=\dfrac8{0^+}=+\infty\\\bullet~\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{x^2+3x+4}{2x+2}=\dfrac8{0^-}=-\infty$

f tiene asíntota vertical de ecuación x=-1.

Veamos si tiene asíntota horizontal:

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+3x+4}{2x+2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x}{2}=\infty$

Luego, f no tiene asíntota horizontal.

Veamos si f tiene asíntota oblicua $(y=mx+n)$ :

$\displaystyle\bullet~m=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+3x+4}{x(2x+2)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+3x+4}{2x^2+2x}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2}{2x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{2}=\dfrac12\\\\\bullet~n=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+3x+4}{2x+2}-\dfrac12\cdot x=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2+3x+4-(x+1)x}{2x+2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x+4}{2x+2}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\rightarrow\infty}\dfrac{2x}{2x}=\lim_{x\rightarrow\infty}1=1$

Luego, f tiene una asíntota oblicua y su ecuación es:

$y=\dfrac x2+1$

b) Para estudiar la monotonía de f, comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

$f(x)=\dfrac{x^2+3x+4}{2x+2}\\\\f'(x)=\dfrac{(2x+3)(2x+2)-(x^2+3x+4)2}{(2x+2)^2}=\\\\=\dfrac{4x^2+4x+6x+6-2x^2-6x-8}{(2x+2)^2}=\dfrac{2x^2+4x-2}{(2x+2)^2}=0~;\\\\2x^2+4x-2=0~;\\\\x^2+2x-1=0$

Ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:

$x=-1\pm\sqrt2\\\\x_1\approx-2.41\\x_2\approx0.41$

Con estos dos puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de f, construimos la siguiente tabla de monotonía:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-2.41)&(-2.41,-1)&(-1,0.41)&(0.41,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$