Problema 756

Sea la función f:~(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=\dfrac{1+e^x}{1-e^x}. Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (1,1). (Sugerencia: cambio de variable t=e^x).


Solución:

Dado el cambio de variable t=e^x, tenemos que

x=\ln t\\\\dx=\dfrac1t~dt

Luego:

\displaystyle I=\int\dfrac{1+e^x}{1-e^x}~dx=\int\dfrac{1+t}{1-t}\cdot\dfrac1t~dt=\int\dfrac{1+t}{(1-t)t}~dt

Tenemos una integral racional. Descomponemos esta última fracción:

\dfrac{1+t}{(1-t)t}=\underbrace{\dfrac A{1-t}+\dfrac Bt}_{(1)}=\dfrac{At+B(1-t)}{(1-t)t}

de donde obtenemos que:

1+t=At+B(1-t)

Obtenemos A y B dando valores a t:

\bullet~\text{Si }t=0\longrightarrow1=B\\\bullet~\text{Si }t=1\longrightarrow2=A

Retomamos la integral y sustituimos en (1):

\displaystyle I=\int\dfrac{1+t}{(1-t)t}~dt=\int\dfrac2{1-t}+\dfrac1t~dt

Tenemos dos integrales inmediatas de tipo logarítmico, luego:

I=-2\ln|1-t|+\ln|t|

Deshacemos el cambio de variable:

I=-2\ln|1-e^x|+\underbrace{\ln|e^x|}_x+k

A esta primitiva de f la definimos como función g:

g(x)=-2\ln|1-e^x|+x+k

Nos dicen que g pasa por el punto (1,1), es decir, g(1)=1, luego:

g(1)=-2\ln|1-e|+1+k=1~;\\\\k=2\ln|1-e|

Luego, la primitiva buscada es:

g(x)=-2\ln|1-e^x|+x+2\ln|1-e|

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