Problema 757

Calcula todas las matrices X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} tales que a+d=1, tienen determinante 1 y cumplen AX=XA, siendo A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.


Solución:

Nos piden calcular los 4 elementos de la matriz X. Necesitaremos tener, por tanto, 4 ecuaciones. Una de las ecuaciones ya nos la dan:

a+d=1

Nos dicen que el determinante de X es 1, luego:

|X|=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc=1

Calculamos AX y XA:

AX=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-c&-d\\a&b\end{pmatrix}\\\\XA=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b&-a\\d&-c\end{pmatrix}

Igualando ambas matrices obtenemos:

\left\{\begin{array}{l}-c=b\\-d=-a\\a=d\\b=-c\end{array}\right.

De estas cuatro ecuaciones, la segunda es proporcional a la tercera, y la cuarta es proporcional a la primera, luego, solo sacamos dos ecuaciones independientes:

\left\{\begin{array}{l}a=d\\b=-c\end{array}\right.

Si a estas dos ecuaciones le unimos las dos primeras, tenemos:

\left\{\begin{array}{l}a+d=1\\ad-bc=1\\a=d\\b=-c\end{array}\right.

Por sustitución, es fácil sacar la solución del sistema:

a=\dfrac12,~b=\pm\dfrac{\sqrt3}2,~c=\mp\dfrac{\sqrt3}2,~d=\dfrac12

Es decir, hay dos matrices X que cumplen las condiciones:

X_1=\begin{pmatrix}\frac12&\frac{\sqrt3}2\\-\frac{\sqrt3}2&\frac12\end{pmatrix}\\\\X_2=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac{\sqrt3}2\\\frac{\sqrt3}2&\frac12\end{pmatrix}

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