Problema 758

Considera la recta r\equiv~\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-2}3=\dfrac{z-1}1 y los planos \pi_1\equiv~x=0\text{ y }\pi_2\equiv~y=0.

a) Halla los puntos de la recta r que equidistan de los planos \pi_1\text{ y }\pi_2.
b) Determina la posición relativa de la recta r y la recta intersección de los planos \pi_1\text{ y }\pi_2.


Solución:

a) Escribimos la recta r en forma paramétrica:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2-\lambda\\y=2+3\lambda\\z=1+\lambda\end{array}\right.

Un punto P perteneciente a la recta r se escribe en la forma:

P=(2-\lambda,2+3\lambda,1+\lambda)

Recordamos la fórmula 2 de la distancia de un punto a un plano, entonces:

d(P,\pi_1)=\dfrac{|2-\lambda|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}\\\\d(P,\pi_2)=\dfrac{|2+3\lambda|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}}

Igualando ambas distancias resulta:

|2-\lambda|=|2+3\lambda|

Ecuación en valores absolutos cuyas soluciones son:

\begin{aligned}\bullet~&2-\lambda=2+3\lambda&\rightarrow&-4\lambda=0&\rightarrow&\lambda=0\\\bullet~&-2+\lambda=2+3\lambda&\rightarrow&-2\lambda=4&\rightarrow&\lambda=-2\end{aligned}

Lueoo, hay dos puntos que equidistan a los dos planos y son:

\begin{aligned}\bullet~&\lambda=0&\rightarrow&P_1=(2,2,1)\\\bullet~&\lambda=-2&\rightarrow&P_2=(4,-4,-1)\end{aligned}


b) Primero escribimos la recta s formada por los planos \pi_1\text{ y }\pi_2 en forma paramétrica, haciendo la parametrización z=μ:

s:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=0\\z=\mu\end{array}\right.

Observamos que la recta s pasa por el punto P_s=(0,0,0) y tiene vector director \vec v_s=(0,0,1).
Por otra parte, la recta r

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2-\lambda\\y=2+3\lambda\\z=1+\lambda\end{array}\right.

pasa por el punto P_r=(2,2,1) y tiene vector director \vec v_r=(-1,3,1).

Calculamos también el vector

\overrightarrow{P_sP_r}=(2,2,1)-(0,0,0)=(2,2,1)

Entonces según se describe aquí, calculamos los siguientes rangos:

  • \text{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\text{rg}\begin{pmatrix}-1&3&1\\0&0&1\end{pmatrix}=2 ya que
    \begin{vmatrix}3&1\\0&1\end{vmatrix}=3\neq0
  • \text{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_sP_r}\end{pmatrix}=\text{rg}\begin{pmatrix}-1&3&1\\0&0&1\\2&2&1\end{pmatrix}=3 ya que
    \begin{vmatrix}-1&3&1\\0&0&1\\2&2&1\end{vmatrix}=6+2=8\neq0

Luego, ambas rectas se cruzan sin cortarse.

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