Problema 759

Considera la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=(x-a)e^x.

a) Determina a sabiendo que la función tiene un punto crítico en x=0.
b) Para a=1, calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f.


Solución:

a) Si f tiene un punto crítico en x=0, entonces se cumple que f'(0)=0. Recordamos la tabla de derivadas:

f'(x)=e^x+(x-a)e^x=e^x(1+x-a)

Aplicamos la ecuación f'(0)=0:

f'(0)=e^0(1+0-a)=1-a=0

de donde tenemos a=1.


b) Para calcular los puntos de inflexión resolvemos la ecuación f''(x)=0.
Con a=1 tenemos f'(x)=xe^x, luego:

f''(x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)

Igualamos a 0 y resolvemos:

e^x(1+x)=0\\\bullet~e^x=0~!!!\\\bullet~1+x=0\rightarrow x=-1

Si evaluamos este punto de inflexión en la tercera derivada, nos sale cual es el cambio de curvatura.

f'''(x)=e^x(1+x)+e^x=e^x(1+x+1)=e^x(2+x)\\\\f'''(-1)=e^{-1}(2-1)=e^{-1}>0

Luego, en x=-1 la función pasa de cóncava a convexa (\cap\cup).
Falta calcular la coordenada y del punto de inflexión:

f(-1)=(-1-1)e^{-1}=\dfrac{-2}e

Luego, el punto de inflexión es (-1,\frac{-2}e).

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