Considera las funciones 
a) Esboza el recinto que determinan la gráfica de f, la gráfica de g, la recta x=1 y la recta x=3. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).
b) Determina el área del recinto anterior.
Solución:
a) Sabemos que la función 
La función
Por otra parte, 
Por último, tenemos que representar las rectas verticales x=1 y x=3:
b) El área S sombreada en la figura anterior es (recordar la tabla de integrales inmediatas):
La integral de 
Luego,
![\displaystyle S=\Big[x\ln(x+2)\Big]_1^3-\int_1^3\dfrac x{x+2}~dx-\int_1^3\dfrac12(x-3)~dx](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5CBig%5Bx%5Cln%28x%2B2%29%5CBig%5D_1%5E3-%5Cint_1%5E3%5Cdfrac+x%7Bx%2B2%7D%7Edx-%5Cint_1%5E3%5Cdfrac12%28x-3%29%7Edx&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle S=\Big[x\ln(x+2)\Big]_1^3-\int_1^3\dfrac x{x+2}~dx-\int_1^3\dfrac12(x-3)~dx")
Descomponemos la fracción 
En nuestro caso:
Luego:
![\displaystyle S=\Big[x\ln(x+2)\Big]_1^3-\int_1^31~dx-\int_1^3\dfrac{-2}{x+2}~dx-\int_1^3\dfrac12(x-3)~dx=\\\\=\Big[x\ln(x+2)-x+2\ln|x+2|-\dfrac12\cdot\dfrac{(x-3)^2}2\Big]_1^3=\\\\=\Big(3\ln(5)-3+2\ln(5)\Big)-\Big(\ln(3)-1+2\ln(3)-1\Big)=\\\\=5\ln(5)-3\ln(3)-1\approx3.75\text{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5CBig%5Bx%5Cln%28x%2B2%29%5CBig%5D_1%5E3-%5Cint_1%5E31%7Edx-%5Cint_1%5E3%5Cdfrac%7B-2%7D%7Bx%2B2%7D%7Edx-%5Cint_1%5E3%5Cdfrac12%28x-3%29%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5CBig%5Bx%5Cln%28x%2B2%29-x%2B2%5Cln%7Cx%2B2%7C-%5Cdfrac12%5Ccdot%5Cdfrac%7B%28x-3%29%5E2%7D2%5CBig%5D_1%5E3%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5CBig%283%5Cln%285%29-3%2B2%5Cln%285%29%5CBig%29-%5CBig%28%5Cln%283%29-1%2B2%5Cln%283%29-1%5CBig%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D5%5Cln%285%29-3%5Cln%283%29-1%5Capprox3.75%5Ctext%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0 "\displaystyle S=\Big[x\ln(x+2)\Big]_1^3-\int_1^31~dx-\int_1^3\dfrac{-2}{x+2}~dx-\int_1^3\dfrac12(x-3)~dx=\\\\=\Big[x\ln(x+2)-x+2\ln|x+2|-\dfrac12\cdot\dfrac{(x-3)^2}2\Big]_1^3=\\\\=\Big(3\ln(5)-3+2\ln(5)\Big)-\Big(\ln(3)-1+2\ln(3)-1\Big)=\\\\=5\ln(5)-3\ln(3)-1\approx3.75\text{ u.a.}")
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