Problema 760

Considera las funciones f:~(-2,+\infty)\rightarrow\mathbb R, definida por f(x)=\ln(x+2) (ln denota la función logaritmo neperiano) y g:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R, definida por g(x)=\dfrac12(x-3).

a) Esboza el recinto que determinan la gráfica de f, la gráfica de g, la recta x=1 y la recta x=3. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).
b) Determina el área del recinto anterior.


Solución:

lnx

a) Sabemos que la función \ln(x) es una función creciente, cóncava con asíntota vertical x=0 y que pasa por el punto (1,0). Ver la figura de la derecha.

La función f(x)=\ln(x+2) tiene por gráfica la misma que \ln(x) pero trasladada 2 unidades hacia la izquierda.

Por otra parte, g(x)=\dfrac12(x-3) es la ecuación de una recta creciente con pendiente 1/2, que pasa por los puntos (3,0) y (0,\frac{-3}2).

Por último, tenemos que representar las rectas verticales x=1 y x=3:

p760


b) El área S sombreada en la figura anterior es (recordar la tabla de integrales inmediatas):

\displaystyle S=\int_1^3(\ln(x+2)-\dfrac12(x-3)~dx=\int_1^3\ln(x+2)~dx-\int_1^3\dfrac12(x-3)~dx

La integral de \ln(x+2) se hace utilizando el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\ln(x+2)&\rightarrow&du=\dfrac1{x+2}~dx\\dv=dx&\rightarrow&v=x\end{array}

Luego,

\displaystyle S=\Big[x\ln(x+2)\Big]_1^3-\int_1^3\dfrac x{x+2}~dx-\int_1^3\dfrac12(x-3)~dx

Descomponemos la fracción \dfrac x{x+2}, en su forma cociente-resto:

\dfrac{Numerador}{Denominador}=Cociente+\dfrac{Resto}{Denominador}

En nuestro caso:

\dfrac x{x+2}=1+\dfrac{-2}{x+2}

Luego:

\displaystyle S=\Big[x\ln(x+2)\Big]_1^3-\int_1^31~dx-\int_1^3\dfrac{-2}{x+2}~dx-\int_1^3\dfrac12(x-3)~dx=\\\\=\Big[x\ln(x+2)-x+2\ln|x+2|-\dfrac12\cdot\dfrac{(x-3)^2}2\Big]_1^3=\\\\=\Big(3\ln(5)-3+2\ln(5)\Big)-\Big(\ln(3)-1+2\ln(3)-1\Big)=\\\\=5\ln(5)-3\ln(3)-1\approx3.75\text{ u.a.}

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