Considera las funciones , definida por
(ln denota la función logaritmo neperiano) y
, definida por
.
a) Esboza el recinto que determinan la gráfica de f, la gráfica de g, la recta x=1 y la recta x=3. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).
b) Determina el área del recinto anterior.
Solución:
a) Sabemos que la función es una función creciente, cóncava con asíntota vertical x=0 y que pasa por el punto (1,0). Ver la figura de la derecha.
La función tiene por gráfica la misma que
pero trasladada 2 unidades hacia la izquierda.
Por otra parte, es la ecuación de una recta creciente con pendiente 1/2, que pasa por los puntos (3,0) y (0,
).
Por último, tenemos que representar las rectas verticales x=1 y x=3:
b) El área S sombreada en la figura anterior es (recordar la tabla de integrales inmediatas):
La integral de se hace utilizando el método de integración por partes:
Luego,
Descomponemos la fracción , en su forma cociente-resto:
En nuestro caso:
Luego:
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