Problema 761

Dadas las matrices A=\begin{pmatrix}2-m&1&2m-1\\1&m&1\\m&1&1\end{pmatrix},~X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}2m^2-1\\m\\1\end{pmatrix}, considera el sistema de ecuaciones lineales dado por X^tA=B^t, donde X^t,~B^t denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de m.


Solución:

Nos piden resolver el sistema en forma matricial X^tA=B^t.
Si hacemos la traspuesta de ambos miembros obtenemos:

(X^tA)^t=(B^t)^t~;\\\\A^tX=B

que es la forma más habitual de presentar los sistemas:

\begin{pmatrix}2-m&1&m\\1&m&1\\2m-1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2m^2-1\\m\\1\end{pmatrix}

Para discutir este sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos calculando el rango de la matriz de coeficientes A^t mediante determinantes:

\begin{vmatrix}2-m&1&m\\1&m&1\\2m-1&1&1\end{vmatrix}=m(2-m)+2m-1+m-m^2(2m-1)-1-(2-m)=\\\\=2m-m^2+2m-1+m-2m^3+m^2-1-2+m=-2m^3+6m-4

Igualamos a 0 este determinante y resolvemos:

-2m^3+6m-4=0~;\\\\m^3-3m+2=0

Resolvemos la ecuación por Ruffini:

\begin{array}{c|cccc}&1&0&-3&2\\1&&1&1&-2\\\hline&1&1&-2&\boxed0\end{array}

Tenemos la solución m=1, y las soluciones de la ecuación de segundo grado m^2+m-2=0 que son m=1 y m=-2. Entonces, según el teorema de Rouché-Frobënius:

  • Si m≠1 y m≠-2, el rango de A^t es 3, que es igual al rango de la matriz amplia (A^t|B), e igual al número de variables n. El sistema es compatible determinado.
  • Si m=1, entonces A^t=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 1, ya que solo hay una fila linealmente independiente.
    La matriz ampliada (A^t|B)=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix} también tiene rango 1, luego, el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=-2, tenemos la matriz de coeficientes A^t=\begin{pmatrix}4&1&-2\\1&-2&1\\-5&1&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}4&1\\1&-2\end{vmatrix}=-9\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada (A^t|B)=\begin{pmatrix}4&1&-2&7\\1&-2&1&-2\\-5&1&1&1\end{pmatrix} utilizando determinantes:
    \begin{vmatrix}4&1&7\\1&-2&-2\\-5&1&1\end{vmatrix}=-54\neq0
    Por lo que el rango de (A^t|B) es 3, y el sistema es incompatible.

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