Problema 762

Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,1,0), B(1,0,2) y C(0,2,1).

a) Halla el área de dicho triángulo.
b) Calcula el coseno del ángulo en el vértice A.


Solución:

a) El área S del triángulo es:

S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2

triángulo

Calculamos los vectores:

\overrightarrow{AB}=(1,0,2)-(1,1,0)=(0,-1,2)\\\overrightarrow{AC}=(0,2,1)-(1,1,0)=(-1,1,1)

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0&-1&2\\-1&1&1\end{vmatrix}=\vec\imath(-1-2)+\vec\jmath(-2)+\vec k(-1)=(-3,-2,-1)

Luego:

S=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}2=\dfrac{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+(-1)^2}}2=\dfrac{\sqrt{14}}2\approx1.87\text{ u.a.}


b) Según la fórmula del producto escalar de vectores:

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|\cdot\cos(\alpha)

siendo α el ángulo formado en el vértice A por los vectores \overrightarrow{AB}\text{ y }\overrightarrow{AC}. Luego:

\cos(\alpha)=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{(0,-1,2)\cdot(-1,1,1)}{\sqrt{0^2+(-1)^2+2^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\dfrac{-1+2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{3}}\\\\\boxed{\cos(\alpha)=\dfrac1{\sqrt{15}}}

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