Problema 763

Dada la función $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ definida por $f(x)=6-\dfrac16x^2$ , calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y=0.

Solución:

f es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava que corta al eje x en:

$0=6-\dfrac{x^2}6~;\\\\x^2=36~;\\x=\pm6$

es decir, en (-6,0) y (6,0). También corta al eje y en (0,6).

Dentro de la parábola, el rectángulo de área máxima tiene dimensiones $2x\times y$ .
Dicho rectángulo alcanzará su máximo área cuando la mitad derecha del rectángulo de dimensiones $x\times y$ lo alcance. El área del rectángulo derecho es

$A(x,y)=x\cdot y$

con x≥0. Cuando el rectángulo tiene coordenada horizontal x, su coordenada vertical viene impuesta por f, es decir, $y=6-\dfrac{x^2}6$ , luego, el área A vale:

$A(x)=x\cdot\left(6-\dfrac{x^2}6\right)=6x-\dfrac{x^3}6$

Optimizamos la función área A calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

$A'(x)=6-\dfrac{3x^2}6=6-\dfrac{x^2}2~;\\\\6-\dfrac{x^2}2=0~;\\\\6=\dfrac{x^2}2~;\\\\x^2=12~;\\x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3$

Descartamos el resultado negativo.
Vemos si este punto crítico, $x=2\sqrt3$ , corresponde a un máximo en la función área A utilizando el test de la derivada segunda: