Dada la función definida por
, calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y=0.
Solución:
f es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava que corta al eje x en:
es decir, en (-6,0) y (6,0). También corta al eje y en (0,6).
Dentro de la parábola, el rectángulo de área máxima tiene dimensiones .
Dicho rectángulo alcanzará su máximo área cuando la mitad derecha del rectángulo de dimensiones lo alcance. El área del rectángulo derecho es
con x≥0. Cuando el rectángulo tiene coordenada horizontal x, su coordenada vertical viene impuesta por f, es decir, , luego, el área A vale:
Optimizamos la función área A calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):
Descartamos el resultado negativo.
Vemos si este punto crítico, , corresponde a un máximo en la función área A utilizando el test de la derivada segunda:
Luego, A alcanza un máximo en .
Para ese valor de x, el valor de y es:
Luego, el semirectángulo tiene dimensiones , y el rectángulo completo de área máxima tiene dimensiones
u.l.
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