Problema 763

Dada la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=6-\dfrac16x^2, calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y=0.


Solución:

f es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola cóncava que corta al eje x en:

0=6-\dfrac{x^2}6~;\\\\x^2=36~;\\x=\pm6

es decir, en (-6,0) y (6,0). También corta al eje y en (0,6).

p763.png

Dentro de la parábola, el rectángulo de área máxima tiene dimensiones 2x\times y.
Dicho rectángulo alcanzará su máximo área cuando la mitad derecha del rectángulo de dimensiones x\times y lo alcance. El área del rectángulo derecho es

A(x,y)=x\cdot y

con x≥0. Cuando el rectángulo tiene coordenada horizontal x, su coordenada vertical viene impuesta por f, es decir, y=6-\dfrac{x^2}6, luego, el área A vale:

A(x)=x\cdot\left(6-\dfrac{x^2}6\right)=6x-\dfrac{x^3}6

Optimizamos la función área A calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

A'(x)=6-\dfrac{3x^2}6=6-\dfrac{x^2}2~;\\\\6-\dfrac{x^2}2=0~;\\\\6=\dfrac{x^2}2~;\\\\x^2=12~;\\x=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt3

Descartamos el resultado negativo.
Vemos si este punto crítico, x=2\sqrt3, corresponde a un máximo en la función área A utilizando el test de la derivada segunda:

A''(x)=-\dfrac{2x}2=-x~;\\\\A''(2\sqrt3)=-2\sqrt3<0

Luego, A alcanza un máximo en x=2\sqrt3.
Para ese valor de x, el valor de y es:

y=6-\dfrac{\sqrt{12}^2}6=4

Luego, el semirectángulo tiene dimensiones (2\sqrt3\times4), y el rectángulo completo de área máxima tiene dimensiones (4\sqrt3\times4) u.l.

 

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