Problema 764

Determina la función f:~(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R sabiendo que es derivable, que su función cumple

f'(x)=\dfrac{\ln(x)}{\sqrt x}

(ln denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de f pasa por el punto (1,0).


Solución:

Para obtener f integramos f ´(recordar la tabla de integrales):

\displaystyle f(x)=\int\dfrac{\ln(x)}{\sqrt x}~dx

Utilizamos el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=\ln(x)&\rightarrow&du=\dfrac1x~dx\\dv=\dfrac1{\sqrt x}~dx&\rightarrow&\displaystyle v=\int\dfrac1{\sqrt x}~dx=\int x^{-1/2}~dx=\dfrac{x^{1/2}}{1/2}=2\sqrt x\end{array}

Luego:

\displaystyle f(x)=\int\dfrac{\ln(x)}{\sqrt x}~dx=2\sqrt x\ln(x)-\int\dfrac{2\sqrt x}x~dx=2\sqrt x\ln(x)-2\int x^{-1/2}~dx=\\\\=2\sqrt x\ln(x)-2\cdot\dfrac{x^{1/2}}{1/2}+k=2\sqrt x\ln(x)-4\sqrt x+k=2\sqrt x(\ln(x)-2)+k

Dice el enunciado que f pasa por el punto (1,0), luego:

f(1)=2\sqrt 1(\ln(1)-2)+k=2(-2)+k=-4+k=0

de donde tenemos k=4. Luego, f es:

\boxed{f(x)=2\sqrt x(\ln(x)-2)+4}

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