Problema 765

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{rl}x+y+2z&=0\\(m+2)x+y-z&=m\\3x+(m+2)y+z&=m\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores de m.
b) Resuelve el sistema, si es posible, para m=0.


Solución:

a) Escribimos el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&1&2\\m+2&1&-1\\3&m+2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\m\\m\end{pmatrix}

Para discutir el sistema utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius.
Comenzamos calculando el rango de M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&1&2\\m+2&1&-1\\3&m+2&1\end{vmatrix}=1-3+2(m+2)^2-6-(m+2)+(m+2)=2(m+2)^2-8

determinante cuyas raíces son:

2(m+2)^2-8=0~;\\(m+2)^2=4~;\\m+2=\pm\sqrt4~;\\m=-2\pm2

es decir, m=0 y m=-4. Luego:

  • Si m≠0 y m≠-4, entonces el rango de M es 3, que es igual al rango de la matriz ampliada, (M|N), e igual al número de variables, luego, el sistema es compatible determinado.
  • Si m=0, entonces la matriz de coeficientes es M=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&1&-1\\3&2&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\2&1\end{vmatrix}=1-2\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&0\\2&1&0\\3&2&0\end{vmatrix}=0
    Luego, el rango de la matriz ampliada es también 2 y el sistema es compatible indeterminado.
  • Si m=-4, entonces la matriz de coeficientes es M=\begin{pmatrix}1&1&2\\-2&1&-1\\3&-2&1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\-2&1\end{vmatrix}=3\neq0.
    Calculamos el rango de la matriz ampliada:
    \begin{vmatrix}1&1&0\\-2&1&-4\\3&-2&-4\end{vmatrix}=-4-12-8-8\neq0
    Luego, el rango de la matriz ampliada es 3, y el sistema es incompatible.

b) Para m=0, tenemos el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+2z&=0\\2x+y-z&=0\\3x+2y+z&=0\end{array}\right.

que es equivalente a:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+2z&=0\\2x+y-z&=0\end{array}\right.

Parametrizamos z=λ:

\left\{\begin{array}{rl}x+y&=-2\lambda\\2x+y&=\lambda\end{array}\right.

Si a la ecuación segunda le restamos la primera obtenemos:

x=3\lambda

Sustituyendo en la primera ecuación:

3\lambda+y=-2\lambda~;\\y=-5\lambda

Luego, para m=0 la solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=3\lambda\\y=-5\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s