Problema 766

Se considera los vectores \vec u=(1,2,3),~\vec v=(1,-2,-1)\text{ y }\vec w=(2,\alpha,\beta), donde α y β son números reales.

a) Determina los valores de α y β para los que \vec w es ortogonal a los vectores \vec u\text{ y }\vec v.
b) Determina los valores de α y β para los que \vec w\text{ y }\vec v tienen la misma dirección.
c) Para α=8, determina el valor de β para el que \vec w es combinación lineal de \vec u\text{ y }\vec v.


Solución:

Recordamos las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de vectores en el espacio para hacer todos los apartados.

a) Para que \vec w sea perpendicular a \vec u y a \vec v, se ha de cumplir

\boxed{\begin{aligned}\vec w\cdot\vec u=0\\\vec w\cdot\vec v=0\end{aligned}}

\vec w\cdot\vec u=2+2\alpha+3\beta=0\\\vec w\cdot\vec v=2-2\alpha-\beta=0

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}2\alpha+3\beta=-2\\2\alpha+\beta=2\end{array}\right.

Si a la ecuación primera le restamos la segunda obtenemos:

2\beta=-4\rightarrow\boxed{\beta=-2}

Sustituyendo en la segunda ecuación:

2\alpha+\beta=2~;\\2\alpha-2=2~;\\\boxed{\alpha=2}


b) Para que \vec w sea paralelo a \vec v se ha de cumplir

\boxed{\dfrac{w_x}{v_x}=\dfrac{w_y}{v_y}=\dfrac{w_z}{v_z}}

En nuestro caso:

\dfrac21=\dfrac{\alpha}{-2}=\dfrac{\beta}{-1}

de donde obtenemos las igualdades:

\boxed{\begin{aligned}\alpha=-4\\\beta=-2\end{aligned}}


c) Para α=8, tenemos el vector \vec w=(2,8,\beta).
Si \vec w es combinación lineal de \vec u y \vec v, entonces existen dos número reales λ, μ tales que:

\boxed{\vec w=\lambda\vec u+\mu\vec v}

Aplicado a cada componente x, y, z de nuestros vectores, obtenemos el siguiente sistema:

\left\{\begin{array}{l}2=\lambda+\mu\\8=2\lambda-2\mu\\\beta=3\lambda-\mu\end{array}\right.\qquad(1)

Aislamos las dos primeras ecuaciones y multiplicamos la primera por 2:

\left\{\begin{array}{l}4=2\lambda+2\mu\\8=2\lambda-2\mu\end{array}\right.

Si sumamos estas dos ecuaciones obtenemos:

12=4\lambda\rightarrow\lambda=3

Sustituyendo en la ecuación primera del sistema (1), obtenemos:

2=3+\mu\rightarrow\mu=-1

Sustituyendo en la tercera ecuación del sistema (1), obtenemos:

\beta=3\lambda-\mu~;\\\beta=3\cdot3-(-1)~;\\\boxed{\beta=10}

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