Problema 767

Se sabe que la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R, dada por

f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\text{sen}(x)+ax+b&\text{si}&x\leq0\\\\\dfrac{\ln(x+1)}x&\text{si}&x>0\end{array}\right.

(ln denota la función logaritmo neperiano) es derivable. Calcula a y b.


Solución:

Recordar la tabla de derivadas. Las indeterminaciones del tipo \dfrac00 las resolvemos usando la regla de L’Hôpital.

Si f es derivable en todo su dominio, entonces lo es en particular en x=0. Para que f sea derivable en x=0, también es continua en x=0.
Estudiamos la continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\ln(x+1)}x=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\frac1{x+1}}1=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac1{x+1}=1\\\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\text{sen}(x)+ax+b=b\\\\\bullet~f(0)=\text{sen}(0)+a\cdot0+b=b

Para que f sea continua en x=0 ha de ser \boxed{b=1}.
Para estudiar la derivabilidad de f calculamos en primer lugar f´:

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\cos(x)+a&\text{si}&x<0\\\\\dfrac{\frac1{x+1}x-\ln(x+1)}{x^2}&\text{si}&x>0\end{array}\right.

Estudiamos la derivabilidad de f en x=0:

\displaystyle\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\frac1{x+1}x-\ln(x+1)}{x^2}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x-(x+1)\ln(x+1)}{(x+1)x^2}=\\\\=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x-(x+1)\ln(x+1)}{x^3+x^2}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{1-\ln(x+1)-(x+1)\frac1{x+1}}{3x^2+2x}=\\\\=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{-\ln(x+1)}{3x^2+2x}=\dfrac00\underset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{-\frac1{x+1}}{6x^2+2}=-\dfrac12\\\\\bullet~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^+}\cos(x)+a=1+a

Para que f también sea derivable ha de ser 1+a=-\dfrac12, de donde, \boxed{a=-\dfrac32}.

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