Problema 768

Sea la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R dada por f(x)=xe^{-x^2}.

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados y los extremos relativos de f (abscisas en los que se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Determina a>0 de manera que sea \dfrac14 el área del recinto determinado por la gráfica de f en el intervalo [0,a] y el eje de abscisas.


Solución:

a) Puntos de corte con el eje x (y=0):

0=xe^{-x^2}~;\\\\\bullet~x=0\\\bullet~e^{-x^2}=0~!!!

La segunda ecuación no tiene solución, luego, el único punto de corte con el eje x es (0,0), que también es punto de corte con el eje y (x=0).

Para calcular los extremos relativos comenzamos calculando los puntos críticos de f (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=e^{-x^2}+xe^{-x^2}(-2x)=e^{-x^2}(1-2x^2)=0~;\\\\\bullet~e^{-x^2}=0~!!!\\\bullet~1-2x^2=0\rightarrow x^2=\dfrac12\rightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac12}\approx\pm0.707

Estudiamos la monotonía en la siguiente tabla de monotonía para caracterizar los puntos críticos:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\sqrt{\frac12})&(-\sqrt{\frac12},\sqrt{\frac12})&(\sqrt{\frac12},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&-\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

En x=-\sqrt{\frac12} hay un mínimo y su ordenada es

y=-\sqrt{\dfrac12}e^{-\sqrt{1/2}^2}=-\sqrt{\dfrac12}e^{-1/2}=-\sqrt{\dfrac1{2e}}

Dado que f es una función con simetría impar (f(-x)=f(x)), entonces el máximo está en el punto \left(\sqrt{\frac12},\sqrt{\frac1{2e}}\right).


b) La función f es una función positiva para x>0, luego, tenemos que resolver la ecuación:

\displaystyle\dfrac14=\int_0^axe^{-x^2}~dx

Esta integral es inmediata de tipo exponencial (recordar la tabla de integrales inmediatas):

\displaystyle\int_0^axe^{-x^2}~dx=\dfrac1{-2}\int_0^a(-2x)e^{-x^2}~dx=\left[\dfrac{-1}2e^{-x^2}\right]_0^a=\dfrac{-1}2e^{-a^2}-\dfrac{-1}2=\dfrac14~;\\\\\dfrac{-1}2e^{-a^2}=-\dfrac14~;\\\\e^{-a^2}=\dfrac12~;~\text{tomamos logaritmos en ambos miembros}\\\\-a^2=\ln\left(\dfrac12\right)=\ln1-\ln2=-\ln2~;\\\\a^2=\ln2~;\\\\a=\pm\sqrt{\ln2}

Descartamos el valor negativo, luego, a=\sqrt{\ln2}\approx0.832

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s