Problema 769

Calcula, en grados, los tres ángulos de un triángulo sabiendo que el menor de ellos es la mitad del ángulo mayor y que la suma del ángulo menor y el ángulo mayor es el doble del otro ángulo.


Solución:

En un triángulo, la suma de los tres ángulos interiores x, y, z son 180º.

x+y+z=180^\circ

Supongamos que x es el ángulo menor y z es el ángulo mayor, entonces, como el menor es la mitad que el mayor:

x=\dfrac12z\rightarrow 2x-z=0

Por último, la suma del ángulo mayor y menor es el doble del otro:

x+z=2y\rightarrow x-2y+z=0

Tenemos así el sistema:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+z&=180\\2x-z&=0\\x-2y+z&=0\end{array}\right.

Escribimos el sistema en forma matricial (MX=N):

\begin{pmatrix}1&1&1\\2&0&-1\\1&-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}180\\0\\0\end{pmatrix}

Calculamos el rango de la matriz de coeficientes M utilizando determinantes:

\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&-1\\1&-2&1\end{vmatrix}=-1-4-2-2=-9

El rango de M es 3, que también es igual al rango de la matriz ampliada (M|N) y que es igual el número de variables, luego, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado.
Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}180&1&1\\0&0&-1\\0&-2&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&-1\\1&-2&1\end{vmatrix}}=\dfrac{-360}{-9}=40^\circ

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&180&1\\2&0&-1\\1&0&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&-1\\1&-2&1\end{vmatrix}}=\dfrac{-180-360}{-9}=60^\circ

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&180\\2&0&0\\1&-2&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&1\\2&0&-1\\1&-2&1\end{vmatrix}}=\dfrac{-720}{-9}=80^\circ

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