Problema 770

Considera las rectas r\equiv~\dfrac{x-2}1=\dfrac{y-k}2=\dfrac z2 y s\equiv~\dfrac{x+1}{-1}=\dfrac{y-1}1=\dfrac{z-3}1.

a) Halla k sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto.
b) Para k=1, halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.


Solución:

a) Escribimos una de las rectas en forma paramétrica, por ejemplo, la recta r:

r:~\left\{\begin{array}{l}x=2+\lambda\\y=k+2\lambda\\z=2\lambda\end{array}\right.

Para ver donde r corta a s sustituimos las paramétricas de r en la continua de s:

\dfrac{2+\lambda+1}{-1}=\dfrac{k+2\lambda-1}1=\dfrac{2\lambda-3}1~;\\\\-\lambda-3=k+2\lambda-1=2\lambda-3

de donde obtenemos dos ecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}-\lambda-3=k+2\lambda-1\\-\lambda-3=2\lambda-3\end{array}\right.\rightarrow\left\{\begin{array}{l}-3\lambda=k+2\\-3\lambda=0\end{array}\right.

De la segunda ecuación obtenemos λ=0. Sustituyendo en la primera obtenemos

0=k+2\rightarrow k=-2

Luego, si k=-2, entonces las rectas se cortan en un único punto ya que el último sistema tiene solución para un único valor de λ.


b) De r tenemos el punto P_r=(2,1,0) y el vector director \vec v_r=(1,2,2). De la recta s tenemos el punto P_s=(-1,1,3) y el vector director \vec v_s=(-1,1,1).
El plano π que contiene a r y es paralelo a s está formado por: \pi:~(P_r,\vec v_r,\vec v_s). Calculamos su ecuación en forma implícita:

\begin{vmatrix}x-2&y-1&z\\1&2&2\\-1&1&1\end{vmatrix}=(x-2)(2-2)+(y-1)(-2-1)+z(1+2)=\\\\=-3y+3+3z=0

Luego la ecuación simplificada del plano es:

\pi:~-y+z+1=0

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