Problema 771

Una empresa textil quiere fabricar dos tipos de camisetas, lisas y estampadas. Para fabricar una camiseta lisa necesita 70 g de algodón y 20 g de poliéster y para cada camiseta estampada 60 g de algodón y 10 g de poliéster. La empresa dispone para ello de 4200 g de algodón y 800 g de poliéster.
Para que sea rentable debe fabricar al menos 10 estampadas y además, el doble de las estampadas debe ser al menos igual al número de lisas.
Sabiendo que cada camiseta lisa da un beneficio de 5 euros y cada estampada de 4 euros, ¿cuántas camisetas de cada tipo debería fabricar para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál es ese beneficio?


Solución:

Sea x el número de camisetas lisas e y el número de camisetas estampadas.
Entre las camisetas lisas y estampadas, no se puede consumir más de 4200 g de algodón:

70x+60y\leq4200

Tampoco se puede consumir más de 800 g de poliéster:

20x+10y\leq800

Deben fabricarse al menos 10 camisetas estampadas:

y\geq10

El doble de las estampadas debe ser al menos igual al número de lisas:

2y\geq x

Formamos un sistema de inecuaciones simplificada a la que añadimos las inecuaciones naturales. Extraemos las ecuaciones de las rectas y las representamos:

\left\{\begin{array}{lcl}7x+6y\leq420&\rightarrow&7x+6y=420\\2x+y\leq80&\rightarrow&2x+y=80\\y\geq10&\rightarrow&y=10\\2y\geq x&\rightarrow&2y=x\\x\geq0&\rightarrow&x=0\\y\geq0&\rightarrow&y=0\end{array}\right.

p771

La región factible es la región sombreada que verifica todas las inecuaciones. Calculamos los vértices de la región factible resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas que cortan en dicho vértice:

\begin{array}{lcl}A:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=10\end{array}\right.&\longrightarrow&A=(0,10)\\\\B:~\left\{\begin{array}{l}x=0\\7x+6y=420\end{array}\right.&\longrightarrow&B=(0,70)\\\\C:~\left\{\begin{array}{l}2x+y=80\\7x+6y=420\end{array}\right.&\longrightarrow&C=(12,56)\\\\D:~\left\{\begin{array}{l}2x+y=80\\2y=x\end{array}\right.&\longrightarrow&D=(32,16)\\\\E:~\left\{\begin{array}{l}y=10\\2y=x\end{array}\right.&\longrightarrow&E=(20,10)\end{array}

Si cada camiseta lisa da un beneficio de 5 euros y cada camiseta estampada da un beneficio de 4 euros, la función beneficio f es:

f(x,y)=5x+4y

Veamos en qué vértice la función beneficio es máxima:

A\rightarrow f(0,10)=5\cdot0+4\cdot10=40\\\\B\rightarrow f(0,70)=280\\\\C\rightarrow f(12,56)=284\\\\D\rightarrow f(32,16)=224\\\\E\rightarrow f(20,10)=140

Luego, el máximo beneficio se obtiene en el vértice C, es decir, fabricando 12 camisetas lisas y 56 camisetas estampadas. Dicho beneficio asciende a 284 euros.

Más problemas de programación lineal.

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