Se considera la función .
a) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta .
b) Estudie la monotonía y la curvatura de la función f.
c) Calcule .
Solución:
a) Nos piden rectas tangentes paralelas a cuya pendiente es 3, luego la pendiente de las rectas tangentes
también es 3.
Como la pendiente de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia es
entonces . Calculamos
:
La ecuación de la recta tangente es:
Sustituyendo, obtenemos nuestras rectas tangentes:
- Para
:
- Para
:
b) Para estudiar la monotonía comenzamos calculando los puntos críticos de f:
Sabiendo que el dominio de f es todo y sus puntos críticos, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla de monotonía:
- f crece en
.
- f decrece en
Para estudiar la curvatura de f comenzamos calculando sus puntos de inflexión:
Con el punto de inflexión y teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla de curvatura:
- f es cóncava en
.
- f es convexa en
.
c) Recordar la tabla de integrales inmediatas:
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