Problema 772

Se considera la función f(x)=x^3-9x+2.

a) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta y=3x-3.
b) Estudie la monotonía y la curvatura de la función f.
c) Calcule \displaystyle\int f(x)~dx.


Solución:

a) Nos piden rectas tangentes paralelas a y=3x-3 cuya pendiente es 3, luego la pendiente de las rectas tangentes m_{rt} también es 3.
Como la pendiente de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia x=x_0 es

\boxed{m_{rt}=f'(x_0)}

entonces f'(x_0)=3. Calculamos x_0:

f'(x)=3x^2-9~;\\\\f'(x_0)=3x_0^2-9=3~;\\3x_0^2=12~;\\x_0^2=4~;\\x_0=\pm\sqrt4~;\\x_0=\pm2

La ecuación de la recta tangente es:

\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}

Sustituyendo, obtenemos nuestras rectas tangentes:

  • Para x_0=2:
    y=f'(2)(x-2)+f(2)~;\\\\y=3(x-2)+(-8)~;\\\\\boxed{y=3x-14}
  • Para x_0=-2:
    y=f'(-2)(x-(-2))+f(-2)~;\\\\y=3(x+2)+12~;\\\\\boxed{y=3x+18}

b) Para estudiar la monotonía comenzamos calculando los puntos críticos de f:

f'(x)=3x^2-9=0~;\\\\3x^2=9~;\\\\x^2=3~;\\\\x=\pm\sqrt3

Sabiendo que el dominio de f es todo \mathbb R y sus puntos críticos, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\sqrt3)&(-\sqrt3,\sqrt3)&(\sqrt3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f crece en x\in(-\infty,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,+\infty).
  • f decrece en x\in(-\sqrt3,\sqrt3)

Para estudiar la curvatura de f comenzamos calculando sus puntos de inflexión:

f''(x)=6x=0~;\\\\x=0

Con el punto de inflexión y teniendo en cuenta el dominio de f, estudiamos la curvatura de f en la siguiente tabla de curvatura:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\cap&\cup\\\hline\end{array}

  • f es cóncava en x\in(-\infty,0).
  • f es convexa en x\in(0,+\infty).

c) Recordar la tabla de integrales inmediatas:

\displaystyle\int x^3-9x+2~dx=\dfrac{x^4}4-\dfrac{9x^2}2+2x+k

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