Problema 772

Se considera la función $f(x)=x^3-9x+2$ .

a) Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de la función que sean paralelas a la recta $y=3x-3$ .
b) Estudie la monotonía y la curvatura de la función f.
c) Calcule $\displaystyle\int f(x)~dx$ .

Solución:

a) Nos piden rectas tangentes paralelas a $y=3x-3$ cuya pendiente es 3, luego la pendiente de las rectas tangentes $m_{rt}$ también es 3.
Como la pendiente de la recta tangente a una función f en el punto de tangencia $x=x_0$ es

$\boxed{m_{rt}=f'(x_0)}$

entonces $f'(x_0)=3$ . Calculamos $x_0$ :

$f'(x)=3x^2-9~;\\\\f'(x_0)=3x_0^2-9=3~;\\3x_0^2=12~;\\x_0^2=4~;\\x_0=\pm\sqrt4~;\\x_0=\pm2$

La ecuación de la recta tangente es:

$\boxed{y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}$

Sustituyendo, obtenemos nuestras rectas tangentes:

Para $x_0=2$ :
$y=f'(2)(x-2)+f(2)~;\\\\y=3(x-2)+(-8)~;\\\\\boxed{y=3x-14}$
Para $x_0=-2$ :
$y=f'(-2)(x-(-2))+f(-2)~;\\\\y=3(x+2)+12~;\\\\\boxed{y=3x+18}$

b) Para estudiar la monotonía comenzamos calculando los puntos críticos de f:

$f'(x)=3x^2-9=0~;\\\\3x^2=9~;\\\\x^2=3~;\\\\x=\pm\sqrt3$

Sabiendo que el dominio de f es todo $\mathbb R$ y sus puntos críticos, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla de monotonía:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\sqrt3)&(-\sqrt3,\sqrt3)&(\sqrt3,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$