Problema 774

Se desea estimar la proporción de individuos que piensan votar a un cierto partido político en una determinada ciudad. Para ello se toma una muestra aleatoria de 300 individuos de la ciudad, resultando que 135 de ellos piensan votar a ese partido.

a) Calcule un intervalo de confianza al 97% para la proporción de individuos que piensan votar a ese partido en dicha ciudad.
b) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra para estimar la proporción con un error inferior al 2%.


Solución:

a) El intervalo de confianza tiene la forma:

(p-E,p+E)

La proporción de individuos que piensan votar a cierto partido político es p=\frac{135}{300}=0.45.
Para un nivel de confianza del 97%, tenemos el valor z_{\alpha/2}=2.17 (véase como calcular z_{\alpha/2} aquí).
El error para estimar la proporción es:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}

Con n=300, tenemos que el error vale

E=2.17\cdot\sqrt{\dfrac{0.45(1-0.45)}{300}}=0.062

y el intervalo de confianza es:

(0.45-0.062,0.45+0.062)=(0.39,0.51)


b) El tamaño muestral, n, lo obtenemos a partir de la fórmula del error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}~;\\\\n=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}{E^2}

Tenemos un error del 2%, es decir, E=0.02, la misma proporción muestral p=0.45, y el mismo nivel de confianza, 97%, con z_{\alpha/2}=2.17, luego, el tamaño muestral es:

n=2.17^2\cdot\dfrac{0.45\cdot(1-0.45)}{0.02^2}=2913.6

El tamaño muestral ha de ser de al menos 2914 individuos.

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