Problema 775

Se considera la matriz

A=\begin{pmatrix}1&-2&0\\-2&2&-1\\0&1&1\end{pmatrix}

a) Razone si la matriz A es simétrica.
b) Calcule A⁻¹.
c) Resuelva la ecuación matricial 2XA-A^2-3I_3=0.


Solución:

a) Una matriz A es simétrica si es igual a su traspuesta, A^t: A=A^t.

A^t=\begin{pmatrix}1&-2&0\\-2&2&1\\0&-1&1\end{pmatrix}

La matrices A y A^t no son iguales, luego, A no es simétrica.


b) Calculamos la matriz inversa de A utilizando el método de Gauss-Jordan:

\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&-2&0&1&0&0\\-2&2&-1&0&1&0\\0&1&1&0&0&1\end{array}\right)\rightarrow\Big[F_2+2F_1\rightarrow F_2\Big]\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&-2&0&1&0&0\\0&-2&-1&2&1&0\\0&1&1&0&0&1\end{array}\right)\rightarrow\\\\\rightarrow\Big[F_2+2F_3\rightarrow F_3\Big]\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&-2&0&1&0&0\\0&-2&-1&2&1&0\\0&0&1&2&1&2\end{array}\right)\rightarrow\Big[F_2+F_3\rightarrow F_2\Big]\rightarrow\\\\\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&-2&0&1&0&0\\0&-2&0&4&2&2\\0&0&1&2&1&2\end{array}\right)\rightarrow\Big[F_1-F_2\rightarrow F_1\Big]\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-3&-2&-2\\0&-2&0&4&2&2\\0&0&1&2&1&2\end{array}\right)\rightarrow\\\\\rightarrow\Big[\dfrac{F_2}{-2}\rightarrow F_2\Big]\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-3&-2&-2\\0&1&0&-2&-1&-1\\0&0&1&2&1&2\end{array}\right)

Luego, la matriz inversa de A es:

A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&-2&-2\\-2&-1&-1\\2&1&2\end{pmatrix}


c) Despejamos la matriz X de la ecuación matricial:

2XA-A^2-3I=\mathbf0~;\\2XA=A^2+3I~;\\2X=(A^2+3I)A^{-1}=A+3A^{-1}~;\\\\X=\dfrac12(A+3A^{_1})

Podemos ya calcular la matriz X:

A+3A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&0\\-2&2&-1\\0&1&1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}-3&-2&-2\\-2&-1&-1\\2&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8&-8&-6\\-8&-1&-4\\6&4&7\end{pmatrix}

X=\dfrac12\begin{pmatrix}-8&-8&-6\\-8&-1&-4\\6&4&7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4&-4&-3\\-4&-1/2&-2\\3&2&7/2\end{pmatrix}

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