Problema 776

Sea la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac1{x-1}&\text{si}&x<0\\\\x^2+a&\text{si}&x\geq0\end{array}\right.

a) Determine el valor del parámetro a para que f sea continua en todo su dominio. Para ese valor de a , estudie la derivabilidad de f.
b) Para a=−2, estudie la monotonía y curvatura de la función f. ¿Tiene algún punto
de inflexión?


Solución:

a) El único punto donde f puede no ser continua en x=0. Estudiamos la continuidad en x=0:

\displaystyle\bullet~\lim_{x\rightarrow0^+}x^2+a=a\\\bullet~\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac1{x-1}=-1\\\bullet~f(0)=0^2+a=a

Para que f sea continua en x=0, ha de ser a=-1.
En este caso, la función derivada es (recordar la tabla de derivadas):

f'(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{-1}{(x-1)^2}&\text{si}&x<0\\\\2x&\text{si}&x>0\end{array}\right.

Estudiamos la derivabilidad en x=0:

\displaystyle\bullet~f'(0^+)=\lim_{x\rightarrow0^+}2x=0\\\bullet~f'(0^-)=\lim_{x\rightarrow0^-}\dfrac{-1}{(x-1)^2}=-1

Luego, f no es derivable para ningún valor de a.


b) Para a=-2, la función f no es continua en x=0. Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos:

\bullet~2x=0\rightarrow x=0~!!!\\\\\bullet~\dfrac{-1}{(x-1)^2}=0\rightarrow-1=0~!!!

Teniendo en cuenta el dominio y los puntos críticos construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f es decreciente en (-\infty,0)
  • f es creciente en (0,+\infty)

Para estudiar la curvatura necesitamos calcular los puntos de inflexión de f (f''(x)=0):

f''(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{2(x-1)}{(x-1)^4}&\text{si}&x<0\\\\2&\text{si}&x>0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac2{(x-1)^3}&\text{si}&x<0\\\\2&\text{si}&x>0\end{array}\right.

\bullet~\dfrac2{(x-1)^3}=0\rightarrow2=0~!!!\\\\\bullet~2=0~!!!

f no tiene puntos de inflexión.
Estudiamos la curvatura de f teniendo en cuenta su dominio en la siguiente tabla de curvatura:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\cap&\cup\\\hline\end{array}

  • f es cóncava en (-\infty,0)
  • f es convexa en (0,+\infty)

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