Problema 778

Los directivos de una empresa desean estimar el tiempo medio que tardan los empleados en llegar al puesto de trabajo desde sus domicilios. Admitimos que dicho tiempo sigue una distribución Normal de desviación típica 8 minutos. Se elige al azar una muestra de 9 empleados de esa empresa, obteniéndose los siguientes resultados,  expresados en minutos:

10, 17, 8, 27, 6, 9, 32, 5, 21

a) Determine un intervalo de confianza al 92% para la media poblacional.
b) Con una confianza del 95.5% , ¿qué tamaño muestral mínimo sería necesario para estimar el tiempo medio con un error inferior a 1.5 minutos?


Solución:

a) Calculamos la media de la muestra \overline x siendo el tamaño de la muestra n=9:

\overline x=\dfrac{10+17+8+27+6+9+32+5+21}9=\dfrac{135}9=15

El intervalo de confianza para la media poblacional es:

(\overline x-E,\overline x+E)

siendo el error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

Para un nivel de confianza del 92% tenemos z_{\alpha/2}=1.75. Ver cálculo de z_{\alpha/2} aquí.
Siendo la desviación típica σ=8, entonces:

E=1.75\cdot\dfrac8{\sqrt 9}=4.67

El intervalo de confianza es:

(15-4.67,15+4.67)=(10.33,19.67)


b) Utilizamos la fórmula del error para obtener el tamaño muestral:

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}~;\\\\\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E~;\\\\n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2

Para un nivel de confianza del 95.5% tenemos z_{\alpha/2}=2.005. Nos dicen que el error vale 1.5 y σ=8, luego:

n=\left(2.005\cdot\dfrac8{1.5}\right)^2=114.3

Por tanto, el tamaño muestral ha de ser como mínimo de 115 medidas de tiempo.

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