Problema 779

Se consideran las matrices

A=\begin{pmatrix}1&0&-2\\-1&1&0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}1&-3\\-2&0\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}7&-12&16\\-1&7&12\end{pmatrix}

a) Justifique cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:

1) AA^t es una matriz simétrica.
2) AA^t+B posee inversa.

b) Resuelva la ecuación matricial BX+A=C.


Solución:

a) 1) Calculamos la matriz AA^t:

AA^t=\begin{pmatrix}1&0&-2\\-1&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\-1&2\end{pmatrix}

Si llamamos C a este resultado, entonces:

C^t=\begin{pmatrix}5&-1\\-1&2\end{pmatrix}=C

luego, AA^t es una matriz simétrica.

2) Calculamos AA^t+B:

AA^t+B=\begin{pmatrix}5&-1\\-1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&-3\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-4\\-3&2\end{pmatrix}

Vemos a simple vista que la fila 2 es proporcional a la fila 1, F_1=-2F_2, luego, AA^t+B no posee inversa.


b) Despejamos X de la ecuación matricial:

BX+A=C~;\\BX=C-A~;\\X=B^{-1}(C-A)

Calculamos B⁻¹ utilizando el método de Gauss-Jordan:

\left(\begin{array}{cc|cc}1&-3&1&0\\-2&0&0&1\end{array}\right)\rightarrow\Big[F_2+2F_1\rightarrow F_2\Big]\rightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}1&-3&1&0\\0&-6&2&1\end{array}\right)\rightarrow\\\\\rightarrow\Big[F_2-2F_1\rightarrow F_1\Big]\rightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}-2&0&0&1\\0&-6&2&1\end{array}\right)\rightarrow\left[\begin{aligned}\frac{F_1}{-2}\rightarrow F_1\\\frac{F_2}{-6}\rightarrow F_2\end{aligned}\right]\rightarrow\\\\\rightarrow\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-1/2\\0&1&-1/3&-1/6\end{array}\right)

Luego

B^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1/2\\-1/3&-1/6\end{pmatrix}

Por otra parte:

C-A=\begin{pmatrix}7&-12&16\\-1&7&12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&-2\\-1&1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&-12&18\\0&6&12\end{pmatrix}

Y, por último:

X=B^{-1}(C-A)=\begin{pmatrix}0&-1/2\\-1/3&-1/6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&-12&18\\0&6&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-3&-6\\-2&3&-8\end{pmatrix}

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