Problema 780

El coste de producción de un bien en una fábrica viene dado por $C(x)=2(2x-1)^2+1$ , con 0 ≤ x ≤ 2, donde x es la cantidad producida en millones de kilogramos.

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función C(x).
b) Determine la cantidad a producir para que el coste de producción sea mínimo. ¿Cuál es dicho coste?
c) Realice un esbozo de la gráfica de la función C(x).

Solución:

a) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

$C'(x)=4(2x-1)\cdot2=16x-8=0~;\\\\16x=8~;\\\\x=\dfrac12$

Teniendo en cuenta el dominio y el punto crítico, construimos la siguiente tabla de monotonía:

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(0,\frac12)&(\frac12,2)\\\hline\mbox{Signo }C'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }C(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}$

C decrece en $x\in(0,\frac12)$ .
C crece en $x\in(\frac12,2)$ .

b) A la vista de la monotonía estudiada en el apartado anterior, el coste de producción es mínimo produciendo ½ millón de kilogramos del bien producido.
En este caso, el coste de producción es:

$x=\frac12\rightarrow C(\frac12)=2(2\cdot\frac12-1)^2+1=1$

en unidades monetarias.

c) La función C es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola convexa que tiene su mínimo en el punto $(\frac12,1)$ .
Calculamos el valor de C en los puntos extremos del dominio: