El coste de producción de un bien en una fábrica viene dado por , con 0 ≤ x ≤ 2, donde x es la cantidad producida en millones de kilogramos.

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función C(x).
b) Determine la cantidad a producir para que el coste de producción sea mínimo. ¿Cuál es dicho coste?
c) Realice un esbozo de la gráfica de la función C(x).

Solución:

a) Para estudiar la monotonía de f comenzamos calculando sus puntos críticos (recordar la tabla de derivadas):

Teniendo en cuenta el dominio y el punto crítico, construimos la siguiente tabla de monotonía:

• C decrece en .
• C crece en .

b) A la vista de la monotonía estudiada en el apartado anterior, el coste de producción es mínimo produciendo ½ millón de kilogramos del bien producido.
En este caso, el coste de producción es:

en unidades monetarias.

c) La función C es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola convexa que tiene su mínimo en el punto .
Calculamos el valor de C en los puntos extremos del dominio:

Con todo lo visto, el esbozo de la gráfica sería semejante a la siguiente figura:

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