Problema 782

Las puntuaciones obtenidas por los participantes en un concurso se distribuyen siguiendo una ley Normal de varianza 36 y media desconocida. Se toma una muestra aleatoria de 64 concursantes, cuya puntuación media es 35 puntos.

a) Obtenga un intervalo, con un 92% de confianza, para la puntuación media de los participantes en dicho concurso.
b) Calcule el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar la puntuación media del total de concursantes, con un error inferior a 2 puntos y un nivel de confianza del 98% .


Solución:

a) El intervalo de confianza para la estimación de la media tiene la forma:

(\overline x-E,\overline x+E)

donde el error tiene la forma

E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}

Utilizamos la tabla de distribución normal para calcular z_{\alpha/2} para un nivel de confianza del 92% resultando z_{\alpha/2}=1.75.
La desviación típica es \sigma=\sqrt{36}=6, y con n=64 y \overline x=35. Luego:

E=1.75\cdot\dfrac6{\sqrt{64}}=1.31

Y el intervalo de confianza es:

(35-1.31,35+1.31)=(33.69,36.31)


b) A partir de la fórmula del error obtenemos la fórmula para el tamaño muestral n:

n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2

Nos piden un error inferior a 2, E=2. Para un nivel de confianza del 98% tenemos z_{\alpha/2}=2.327  Luego:

n=\left(2.327\cdot\dfrac62\right)^2=48.7

Luego, el tamaño muestral es de 49 participantes.

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