Problema 783

Una empresa comercializa dos tipos de concentrado de café, A y B, que se obtienen a partir de tres tipos de grano: de Colombia, de Etiopía y de Costa Rica. Para elaborar 1 kg de concentrado A se necesitan 4.5 kg de grano de Colombia y 3 kg de grano de Etiopía. Por otra parte, se requieren 7.5 kg de grano de Colombia y 1.5 kg de grano de Costa Rica para elaborar 1 kg de concentrado B. Actualmente la empresa dispone de un máximo de 67.5 kg de grano de Colombia, 30 kg de grano de Etiopía y 9 kg de grano de Costa Rica. Además, se exige que el número de kilogramos de concentrado A producidos debe ser mayor o igual que la mitad de los kilogramos de concentrado B.

a) Represente la región factible que describe el problema anterior y determine sus vértices.
b) Indique de manera razonada si con las condiciones dadas sería posible producir 7 kg del concentrado A y 5 kg del concentrado B.
c) Sabiendo que el beneficio obtenido por la venta de cada kilogramo de concentrado del tipo A es 2 euros y de cada kilogramo del tipo B es 4 euros, ¿cuántos kilogramos del tipo A y cuántos del tipo B se habrán de producir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio?


Solución:

a) Sea x el número de kilogramos de concentrado de tipo A e y el número de kilogramos de concentrado de tipo B.
En la siguiente tabla se resume el número de kg de grano necesario para elaborar cada kg de concentrado.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline&\text{Concentrado A}&\text{Concentrado B}\\\hline\text{Colombia}&4.5&7.5\\\hline\text{Etiop\'ia}&3&0\\\hline\text{Costa Rica}&0&1.5\\\hline\end{array}

Se dispone de un máximo de 67.5 kg de grano de Colombia:

4.5x+7.5y\leq67.5\qquad\underset{\cdot\frac23}\rightarrow\qquad3x+5y\leq45

Se dispone de 30 kg de grano de Etiopia:

3x\leq30\qquad\rightarrow\qquad x\leq10

Se dispone de 9 kg de grano de Costa Rica:

1.5y\leq9\qquad\rightarrow\qquad y\leq6

Además, se exige que el número de kilogramos de concentrado A producidos debe ser mayor o igual que la mitad de los kilogramos de concentrado B.

x\geq\dfrac y2\qquad\rightarrow\qquad2x\geq y

Estas restricciones junto con las restricciones de positividad nos dan el siguiente sistema de inecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}3x+5y\leq45\\x\leq10\\y\leq6\\2x\geq y\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

De estas inecuaciones obtenemos las ecuaciones de las rectas y las representamos en una gráfica:

\left\{\begin{array}{l}3x+5y=45\\x=10\\y=6\\2x=y\\x=0\\y=0\end{array}\right.

p783La región sombreada es la región factible formada por todos los puntos que verifican todas las inecuaciones.
Para calcular los vértices de la región factible solo hay que resolver el sistema formado por los pares de rectas que forman dicho vértice:

\begin{array}{lcl}A=\left\{\begin{aligned}x=0\\y=0\\2x=y\end{aligned}\right.&\rightarrow&A=(0,0)\\B=\left\{\begin{aligned}2x=y\\y=6\end{aligned}\right.&\rightarrow&B=(3,6)\\C=\left\{\begin{aligned}3x+5y=45\\y=6\end{aligned}\right.&\rightarrow&C=(5,6)\\D=\left\{\begin{aligned}3x+5y=45\\x=10\end{aligned}\right.&\rightarrow&D=(10,3)\\E=\left\{\begin{aligned}y=0\\x=10\end{aligned}\right.&\rightarrow&E=(10,0)\end{array}


b) La producción de 7 kg de concentrado A y de 5 kg de concentrado B se puede dar si esas cantidades verifican todas las inecuaciones.

\left\{\begin{array}{l}3x+5y\leq45\\x\leq10\\y\leq6\\2x\geq y\\x\geq0\\y\geq0\end{array}\right.

3\cdot7+5\cdot5=46\leq45!!!

Esas cantidades no verifican la primera inecuación, luego, esas cantidades no se pueden producir.


c) El beneficio f por la venta de x kg de concentrado tipo A e y kg de concentrado tipo B es:

f(x,y)=2x+4y

Evaluamos la función beneficio en cada vértice de la región factible.

A\rightarrow f(0,0)=2\cdot0+4\cdot0=0\\B\rightarrow f(3,6)=30\\C\rightarrow f(5,6)=34\\D\rightarrow f(10,3)=32\\E\rightarrow f(10,0)=20

Luego, el beneficio máximo se obtiene con una producción de 5 kg de concentrado tipo A y con 6 kg de concentrado tipo B. El beneficio asciende a 34 euros.

Más problemas de programación lineal.

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4 comentarios en “Problema 783

  1. buenas , pero ya que tenemos una restricción para x , que debe de ser mayor que la mitad de y , no es necesario poner la restricción de positividad de la x (x mayor o igual que 0) ya que es insignificante

    1. Es cierto lo que comentas. La omisión de la restricción x>=0 no afecta a la región factible, a los vértices. Pero no es el único problema en el que se incluye estas restricciones que al final no afectan a la región factible. Estas restricciones se escriben muchas veces con la simple intención de recordar que, como en este ejercicio, hay magnitudes que no pueden tomar valores negativos. Simplemente es para tener eso en mente, no porque vaya a afectar a la región factible que, como tú has dicho, no lo hace. Gracias Luis.

  2. hola. os falta por decir la ultima parte del ejercicio, que es x menos o igual que y entre 2

    1. Cierto, faltaba la última restricción. Por ello ha habido que corregir la representación gráfica y el vértice B. Gracias Fafa.

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