Problema 784

De una cierta función f, sabemos que su función derivada es f'(x)=3x^2-3.

a) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f, y calcule la abscisa de sus extremos relativos.
b) Determine la curvatura de f y halle la abscisa de su punto de inflexión.
c) Calcule la función f, sabiendo que su gráfica pasa por el punto (−1,3).


Solución:

a) Para estudiar la monotonía de f, primero calculamos sus puntos críticos:

3x^2-3=0~;\\3x^2=3~;\\x^2=1~;\\x=\pm\sqrt1=\pm1

Con los puntos críticos y sabiendo que el dominio de una función polinómica es \mathbb R, construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monoton\'ia }f(x)&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • f es creciente en x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty).
  • f es decreciente en x\in(-1,1).

Las abscisas de los extremos relativos son x=-1 y x=1.


b) Para estudiar la curvatura de f, primero calculamos sus puntos de inflexión:

f''(x)=6x=0~;\\x=0

Con este punto de inflexión y recordando el dominio, construimos la siguiente tabla de curvatura:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\cap&\cup\\\hline\end{array}

  • f es convexa en x\in(0,+\infty).
  • f es cóncava en x\in(-\infty,0).

El punto de inflexión está en la abscisa x=0.


b) Para obtener f a partir de su derivada, tenemos que integrar esta última:
(Recordar la tabla de integrales inmediatas).

\displaystyle f(x)=\int3x^2-3~dx=\dfrac{3x^3}3-3x+k=x^3-3x+k

Sabemos que f pasa por el punto (-1,3), es decir, f(-1)=3, luego:

f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)+k=-1+3+k~;\\f(-1)=2+k=3~;\\k=1

Luego:

f(x)=x^3-3x+1

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