Problema 785

De dos sucesos A y B de un mismo espacio muestral se sabe que:

P[A\cap B]=0.2\qquad P[A\cup B]=0.4\qquad P[A/B]=0.8

a) Calcule P[B]\text{ y }P[A].
b) ¿Son los sucesos A y B independientes? Razone la respuesta.
c) Calcule P[A^c\cup B^c].


Solución:

a) Con los datos aportados, podemos utilizar la fórmula de la probabilidad condicionada:

P[A/B]=\dfrac{P[A\cap B]}{P[B]}~;\\\\P[B]=\dfrac{P[A\cap B]}{P[A/B]}=\dfrac{0.2}{0.8}=0.25

Solo queda calcular la probabilidad de A. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión:

P[A\cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B]~;\\\\P[A]=P[A\cup B]-P[B]+P[A\cap B]=0.4-0.25+0.2=0.35


b) Dos sucesos A y B se dicen que son independientes si:

P[A/B]=P[A]

Tenemos que P[A/B]=0.8 y que P[A]=0.35, luego A y B no son sucesos independientes.


c) Para calcular P[\overline A\cup\overline B] utilizamos una de las leyes de Morgan y la fórmula del suceso contrario:

P[\overline A\cup\overline B]=P[\overline{A\cap B}]=1-P[A\cap B]=1-0.2=0.8

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