Problema 786

Se quiere estimar la proporción de enfermos hospitalizados por causas relacionadas con el consumo de tabaco. Para ello se escoge aleatoriamente una muestra de 50 expedientes sanitarios de enfermos hospitalizados, resultando que el 22% de ellos revelan que la enfermedad fue causada por el tabaco.

a) Para un nivel de confianza del 92% , calcule un intervalo de confianza para la proporción de enfermos hospitalizados por causas relacionadas con el consumo de tabaco.
b) Determine cuántos expedientes hay que elegir como mínimo para que, con el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral anteriores, el error que se cometa al estimar la proporción de los enfermos hospitalizados por causas debidas al tabaco sea inferior al 3%.


Solución:

a) Nos piden el intervalo de confianza para la proporción:

(p-E,p+E)

donde la proporción de expedientes de enfermos por el tabaco es p=0.22.
Para un nivel de confianza del 92% tenemos que z_{\alpha/2}=1.75 como se explica aquí.

El error para la estimación de la proporción tiene la fórmula:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}

Con n=5, el error vale:

E=1.75\cdot\sqrt{\dfrac{0.22(1-0.22)}{50}}=0.1

Luego, el intervalo de confianza es:

(0.22-0.1,0.22+0.1)=(0.12,0.32)


b) Nos piden el tamaño muestral n, para que el error sea inferior al 3%, es decir, E=0.03.
Despejamos n de la fórmula del error:

E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{p(1-p)}n}~;\\\\E^2=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}n~;\\\\n=z_{\alpha/2}^2\cdot\dfrac{p(1-p)}{E^2}

Dado que tenemos el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral que en el apartado anterior, entonces:

n=1.75^2\cdot\dfrac{0.22(1-0.22)}{0.03^2}=583.9

Luego, el tamaño muestral ha de ser de 584 expedientes como mínimo.

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